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Lexikon der Mathematik: Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Lefschetz.

Es sei M eine kompakte und differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand und f : MM eine differenzierbare Abbildung, die nur einfache Fixpunkte besitzt, das heißt

\begin{eqnarray}\det (1-d{f}_{p})\ne 0,\end{eqnarray}

wobei dfp das Differential von f im Punkt p ist. Es gebe nur endlich viele Fixpunkte von ƒ. Weiterhin existiere ein elliptischer Komplex ϵ über M, also

\begin{eqnarray}\varepsilon :0\to \Gamma ({E}_{0}){\to }^{{d}_{0}}\Gamma ({E}_{1}){\to }^{{d}_{1}}\cdots \\ \phantom{\varepsilon :0}{\to }^{{d}_{l-1}}\Gamma ({E}_{l})\to 0\end{eqnarray}

und eine Folge glatter Vektorbündelhomomorphismen

\begin{eqnarray}{\varphi }_{i}:f* {E}_{i}\to {E}_{i}\end{eqnarray}

für i = 0,…, l, so daß

\begin{eqnarray}{d}_{i}{T}_{i}={T}_{i+1}{d}_{i}\end{eqnarray}

für jedes i gilt. Dabei ist Ti : Γ(Ei) → Γ(Ei) definiert durch

\begin{eqnarray}{T}_{i}s(x)={\varphi }_{i}s(f(x))\text{\hspace{1em}}\text{für}\text{\hspace{1em}}s\in {\rm{\Gamma }}({E}_{i}).\end{eqnarray}

Die Folge T = (Ti) induziert Endomorphismen Hi(Т) der Homologiegruppe Hi(ϵ) des elliptischen Komplexes ϵ.

Man definiert nun die Lefschetz-Zahl L(T) durch

\begin{eqnarray}L(T)=\displaystyle \sum _{i=0}^{l}\text{tr}{H}^{i}(T).\end{eqnarray}

Für einen Fixpunkt p von f sei ϕi,p : Ei,pEi,p die Restriktion von ϕi auf die Faser Ei,p von Ei über p. Dann gilt der folgende Satz:

Unter den oben aufgeführten Voraussetzungen gilt:

\begin{eqnarray}L(T)=\displaystyle \sum _{p}\frac{\displaystyle \sum _{i=0}^{l}{(-1)}^{i}\text{tr}{\varphi }_{i,p}}{|\det (1-d{f}_{p})|},\end{eqnarray}

wobei über die Fixpunkte ρ von f summiert wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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