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Lexikon der Mathematik: Atiyah-Singer-Fixpunktsatz

Erweiterung des Atiyah-Bott-Fixpunktsatzes.

Im Fixpunktsatz von Atiyah-Bott ersetze man die Voraussetzung, daß f nur einfache Fixpunkte hat, durch die Voraussetzung, daß f ein Diffeomorphismus auf M ist, enthalten in einer kompakten Transformationsgruppe G. Die Fixpunktmenge von f sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von M.

Gegeben sei weiterhin ein elliptischer Komplex ϵ über M und eine Liftung auf der G-Aktion auf M nach ϵ. Man definiere Ti : Γ (Ei) → Γ (Ei) durch

\begin{eqnarray}{T}_{i}s(x)={f}^{-1}s(f(x))\end{eqnarray}

für alle s ∈ Γ(Ei).

Dann ist

\begin{eqnarray}{d}_{i}{T}_{i}={T}_{i+1}{d}_{i}\end{eqnarray}

für alle i, und es gilt der folgende Satz:

Unter den oben aufgeführten Voraussetzungen gilt für die Lefschetz-Zahl:

\begin{eqnarray}L(T)=\displaystyle \sum _{{F}_{i}}v({F}_{i}),\end{eqnarray}

wobei über die Komponenten Fi der Fixpunktmenge Mf von f summiert wird.

v(Fi) kann geschrieben werden in Abhängigkeit des Symbols des elliptischen Komplexes ϵ mit G-Aktion, der charakteristischen Klassen der Mannigfaltigkeit Fi, der charakteristischen Klassen des Normalenbündels von Fi in M und der Aktion von g = ƒ–1auf den Normalenvektoren.

Dieser Fixpunktsatz ist eine Reformulierung des Atiyah-Singer-Indextheorems.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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