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Lexikon der Mathematik: Atiyah-Singer-Indextheorem

besagt, daß der Index eines elliptischen Operators, oder allgemeinereines elliptischen Komplexes, auf einer kompakten Mannigfaltigkeit nur von topologischen Eigenschaften abhängt. Der Index eines solchen Operators ist dabei als die Differenz aus der Dimension des Nullraumes und der Kodimension des Bildraumes definiert. Nach dem Indextheorem ist dann

\begin{eqnarray}\text{ind}(D)=\displaystyle {\int }_{C(M)}\text{ch}(D)\wedge \varrho * td(T{M}_{{\rm{{\mathbb{C}}}}}).\end{eqnarray}

Hierbei ist ch(D) der Ghern-Gharakter ( Chern-Klassen) des Indexbündels und ϱ*td(TM) das Pullback der sogenannten Todd-Klasse des komplexifizierten Tangentialbündels der Mannigfaltigkeit.

Insbesondere gilt ind(D) = 0, sofern die Dimension der Mannigfaltigkeit M ungerade ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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