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Lexikon der Mathematik: Attraktor

nichtleere abgeschlossene invariante Teilmenge AM für ein topologisches dynamisches System (&Mgr;, ℝ, Ф), falls eine Umgebung U von A existiert, für die gilt:

  • U ist positiv invariant,
  • für jede offene Umgebung V von A gibt es T > 0 so, daß Φt (U) ⊂ V für tT.
  • Ein Attraktor ist asymptotisch stabil. Für einen Attraktor A bezeichnet man die Vereinigung aller offenen Umgebungen von A, die (i) und (ii) erfüllen, als sein Bassin.

    Ein Attraktor kann wegen der topologischen Transitivität nicht weiter in Teil-Attraktoren zerlegt werden. Eine solche Zerlegung ist bei anziehenden Mengen jedoch möglich. Dieser Unterschied wird an folgendem Beispiel deutlich:

    Wir betrachten das Differentialgleichungssystem

    \begin{eqnarray}{x}^{^{\prime} }=x-{x}^{3}\\ {y}^{^{\prime} }=-y.\end{eqnarray}

    Es bezeichne Φ1(·) := Φ(·, 1) die Zeit-1-Abbildung des zugehörigen Flusses Φ. Die nachfolgende Abbildung zeigt das Phasenportrait des zugehörigen dynamischen Systems. (0, 0) ist ein Sattelpunkt und (±1, 0) sind Senken. Die Menge A := [−1, 1] × {0} ist zwar anziehende Menge, jedoch kein Attraktor. Die asymptotisch stabilen Fixpunkte (±1, 0) sind Attraktoren.

    Abbildung 1 zum Lexikonartikel Attraktor
    © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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    [1] Guckenheimer, J.; Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag New York, 1983.
    [2] Wiggins, S.: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and chaos. Springer-Verlag New York, 1990.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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