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Lexikon der Mathematik: Aufblasung

zunächst intuitiv geschildert, die folgende Idee: Wenn f1, …, fn Funktionen auf einer algebraischen Varietät X sind \(({f}_{i}\in {{\mathscr{O}}}_{X}(X))\), so erhält man durch

\begin{eqnarray}f:x\mapsto ({f}_{1}(x):\ldots :{f}_{n}(x))\end{eqnarray}

einen Morphismus mit Werten in ℙn–1, der allerdings nur in Punkten definiert ist, die nicht gemeinsame Nullstelle von (f1,…, fn) sind, also auf &KHgr;\V Die Nullstellenmenge V = V (f1,…, fn) werde als nirgends dicht in X vorausgesetzt. Der Unbestimmtheit dieser Abbildung f längs V kann man abhelfen: Man ersetzt X durch \(\tilde{X}\subset X\times {{\mathbb{P}}}^{n-1}\) wobei \(\tilde{X}\) die sog. Zariski-Abschließung des Graphen von f in

\begin{eqnarray}(X\backslash V)\times {{\mathbb{P}}}^{n-1}\subset X\times {{\mathbb{P}}}^{n-1}\end{eqnarray}

ist. Die Einschränkung der Projektion auf X liefert einen Morphismus \(\tilde{X}\mathop{\to }\limits^{\sigma }X\) so, daß \(\tilde{X}\backslash {\sigma }^{-1}(V)\simeq X\backslash V\). Dies ist ein Beispiel für eine Aufblasung (von Xlängs V). Die Projektion auf ℙn–1 liefert eine Fortsetzung von f zu einem Morphismus \(\tilde{X}\tilde{\to }{{\mathbb{P}}}^{n-1}\).

Dieselbe Idee läßt sich auch in der Kategorie der komplexen Räume mit analytischen Funktionen f1, ⋯, fn durchführen. Da außerhalb V der Raum X nicht abgeändert wird, kann man auch davon ausgehen, daß V vorgegeben ist und f1, ⋯, fn nur in einer Umgebung U von V definiert sind. Im einfachsten Fall, daß X eine glatte komplexe Mannigfaltigkeit ist und V = {p} ein Punkt, ergibt sich folgendes topologische Bild: \(\tilde{X}\) ist diffeomorph zur zusammenhängenden Summe X#(–ℙn(ℂ)) orientierter Mannigfaltigkeiten (–ℙn(ℂ) bezeichnet dabei die Mannigfaltigkeit ℙn(ℂ), aber mit der der Standard-Orientierung entgegengesetzen Orientierung).

Wir geben nun die formale Definition von Aufblasungen: Sei X ein Schema und VX abgeschlossenes nirgends dichtes Unterschema, \({\rm{ {\mathcal I} }}\) die zugehörige Idealgarbe, von der vorausgesetzt werde, daß sie lokal von endlichem Typ sei. Dann ist \({\mathscr{S}}={{\mathscr{O}}}_{X}\otimes {\rm{ {\mathcal I} }}\otimes {{\rm{ {\mathcal I} }}}^{2}\otimes {{\rm{ {\mathcal I} }}}^{3}\cdots \) eine graduierte quasikohärente \({{\mathscr{O}}}_{X}\)-Algebra, und der zugehörige Morphismus

\begin{eqnarray}\tilde{X}=\mathrm{Proj}({\mathscr{S}})\mathop{\to }\limits^{\sigma }X\end{eqnarray}

heißt die Aufblasung von X längs von V. Die charakteristischen Eigenschaften der Aufblasung sind die folgenden:
  • σ–1(V) = E ist ein Gartier-Divisor, genannt exzeptioneller Divisor.
  • σ ist universell mit dieser Eigenschaft: Wenn σ′ : X→ X ein Morphismus ist, so daß σ–1(V) = E′ Gartier-Divisor ist, so gibt es genau eine Zerlegung \({\sigma }^{^{\prime} }=\sigma \text{&ogr;}f:{X}^{^{\prime} }\mathop{\to }\limits^{f}\tilde{X}\mathop{\to }\limits^{\sigma }X\).
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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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