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Lexikon der Mathematik: aufeinander abwickelbare Flächen

isometrische Flächen, Flächen, die hinsichtlich des inneren Abstände isometrisch sind.

Die genaue Definition ist folgende: Zwei Flächen \({ {\mathcal F} }_{1}\) und \({ {\mathcal F} }_{2}\) des ℝ3 heißen aufeinander abwickelbar, wenn eine bijektive differenzierbare Abbildung \(f:{ {\mathcal F} }_{1}\to { {\mathcal F} }_{2}\) existiert, die die erste Fundamentalform erhält. Die Abbildung f selbst heißt dann Abwicklung von \({ {\mathcal F} }_{1}\) auf \({ {\mathcal F} }_{2}\).

Im Sinne der Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist diese Eigenschaft äquivalent dazu, daß \({ {\mathcal F} }_{1}\) und \({ {\mathcal F} }_{2}\) isometrisch sind (Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten). Mit Hilfe von Parameterdarstellungen läßt sich diese Eigenschaft oft durch das folgende lokale Kriterium nachweisen: \({ {\mathcal F} }_{1}\) und \({ {\mathcal F} }_{2}\) sind aufeinander abwickelbar, wenn es Parameterdarstellungen \({{\rm{\Phi }}}_{1}:U\to { {\mathcal F} }_{1}$?> und \({{\rm{\Phi }}}_{2}:U\to { {\mathcal F} }_{2}$?> von \({ {\mathcal F} }_{1}\) bzw. \({ {\mathcal F} }_{2}\) gibt, die auf einem gemeinsamen Parameterbereich U ⊂ ℝ2 definiert sind und deren erste Fundamentalformen als matrixwertige Funktionen auf U übereinstimmen. Ist das der Fall, so ist \({{\rm{\Phi }}}_{2}\circ {{\rm{\Phi }}}_{1}^{-1}:{ {\mathcal F} }_{1}\to { {\mathcal F} }_{2}\) eine Abwicklung von \({ {\mathcal F} }_{1}\) auf \({ {\mathcal F} }_{2}\)·

Einfache Beispiele für Abwicklungen erhält man aus Verbiegungen von Flächen oder anhand von kongruenten Flächen. Die Isometrie von Flächen ist aber nicht immer evident. Es gibt z. B Flächen konstanter Gaußscher Krümmung sehr unterschiedlichen Aussehens. Jedoch gilt folgender Satz:

Sind \({ {\mathcal F} }_{1}\), \({ {\mathcal F} }_{2}\subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\)zwei Flächen derselben konstanten Gaußschen Krümmung und \({P}_{1}\in { {\mathcal F} }_{1}\), \({P}_{2}\in { {\mathcal F} }_{2}\)zwei beliebige Punkte, so gibt es Umgebungen \({P}_{1}\in {U}_{1}\subset { {\mathcal F} }_{1}\)und \({P}_{2}\in {U}_{2}\subset { {\mathcal F} }_{2}\), die aufeinander abwickelbar sind.

Die Relation ’\({ {\mathcal F} }_{1}\) ist auf \({ {\mathcal F} }_{2}\) abwickelbar’ ist eine Äquivalenzrelation in der Menge aller regulären Flächen des ℝ3. Es gibt viele Äquivalenzklassen, da die Gaußsche Krümmung nach dem theorema egregium eine Invariante bezüglich der Isometrie ist, d. h., Flächen unterschiedlicher Gaußscher Krümmung können nicht aufeinander abwickelbar sein. Daher gibt es zum Beispiel keine Abwicklung von Teilen der Kugeloberfläche in die Ebene.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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