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Lexikon der Mathematik: auflösbare Gruppe

Gruppe G, aus der man durch Kommutatorbildung nach endlich vielen Schritten die einelementige Gruppe erhält.

Der Kommutator [a, b] zweier Elemente a, bG wird hierbei durch

\begin{eqnarray}[a,b]={a}^{-1}{b}^{-1}ab\end{eqnarray}

definiert. Es gilt nämlich: a und b kommutieren genau dann, d. h. ab = ba, wenn ihr Kommutator [a, b] gleich dem Einslement der Gruppe G ist.

Die Kommutatorgruppe G′ der Gruppe G ist die kleinste Untergruppe von G, die alle Kommutatoren

\begin{eqnarray}\{[a,b],a,b\in G\}\end{eqnarray}

enthält. Man definiert dann induktiv G(0) = G und G(n) als Kommutatorgruppe von G(n–1).

Zusammenfassend kann man also sagen: G heißt auflösbar, wenn es ein n ∈ ℕ gibt, so daß G(n) ein-elementig ist.

Die Bezeichnung stammt aus der Algebra: Die Existenz einer Lösungsformel für eine algebraische Gleichung hängt eng mit der Auflösbarkeit der zugeordneten Galois-Gruppe zusammen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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