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Lexikon der Mathematik: Aufrundung

Funktion, die einer reellen Zahl x die kleinste in einem Stellenwertsystem zu einer Basis b mit einer Genauigkeit bk darstellbare rationale Zahl ⌈xb, k mit ⌈xb, kx zuordnet, wobei 2 ≤ b ∈ ℕ und k ∈ ℤ. In der b-Darstellung von ⌈xb, k sind also die Ziffern zu den Potenzen bj mit j < k gleich 0. Für x ≥ 0 entspricht das Aufrunden einem Weglassen der Ziffern nach der Position bk in der b-Darstellung von x (bzw. ihrer Ersetzung durch die Ziffer 0) und Addition von bk, falls eine der weggestrichenen Ziffern verschieden von 0 war, was sich auch durch

\begin{eqnarray}{\lceil x\rceil }_{b,k}=\lceil \frac{x}{{b}^{k}}\rceil {b}^{k}\end{eqnarray}

ausdrücken läßt mit der ceil-Funktion ⌈ ⌉. Beispielsweise gilt ⌈12345678⌉10,2 = 12345700 und ⌈e10,−2 = 2.72. Für x ≤ 0 gilt ⌈xb, k = −⌊−xb, k mit der Abrundung ⌊ ⌋b, k.

⌈ ⌉b, 0 = ⌈ ⌉ ist die Aufrundung auf ganze Zahlen. 0 ≤ ⌈xb, kxbk für x ∈ ℝ zeigt, daß der Fehler wie bei der Abrundung kleiner als bk ist. Beim Runden nach der Rundungsregel kann der Fehler nur halb so groß werden. Allgemeiner kann man für eine Menge M ⊂ ℝ, z. B. der endlichen Menge der in einem Computer darstellbaren Maschinenzahlen, nach der Aufrundung von x in M fragen, also der kleinsten in M enthaltenen Zahl ⌊xM mit ⌊xMx.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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