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Lexikon der Mathematik: Ausfallrate

Begriff aus der Zuverlässigkeitstheorie, Maß für die Anfälligkeit eines Systems oder Systemelements, welches das Alter t erreicht hat.

Interpretiert man eine stetige Zufallsgröße T ≥ 0 mit der Verteilungsfunktion F(t) und der Dichte f(t) als Lebensdauer eines Systems oder Systemelements, so erhält man für die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß das System bzw. Systemelement im Zeitraum (t, t + Δt] ausfällt, wenn es bis zum Zeitpunkt t noch gearbeitet hat, das Resultat

\begin{eqnarray}R(t,t+\Delta t) & := & P(t\lt T\le t+\Delta t/T\ge t)\\ & = & \frac{P((t\lt T\le t+\Delta t)\cap (T\ge t))}{P(T\ge t)}\\ & = & \frac{P(t\lt T\le t+\Delta t)}{P(T\ge t)}\\ & = & \frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{1-F(t)}.\end{eqnarray}

Unter der Ausfallrate versteht man die Größe λ(t) mit

\begin{eqnarray}\lambda (t) & := & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\Delta t\to 0}(\frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{\Delta t})(\frac{1}{1-F(t)})\\ & = & \frac{f(t)}{1-F(t)}.\end{eqnarray}

Für hinreichend kleine Werte von Δt ist

\begin{eqnarray}R(t,t+\Delta t)\approx \Delta t\lambda (t),\end{eqnarray}

d. h., für hinreichend kleine Δt ist Δtλ(t) eine gute Näherung für die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß das System bzw. Systemelement im Zeitraum (t, t + Δt] ausfällt, wenn es bis zum Zeitpunkt t noch gearbeitet hat.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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