ökonomische Grundlage der Versicherungsmathematik.

Das Unternehmen verpflichtet sich (in Vertretung des „Kollektivs der Versicherten“) zu einer Zahlung, sofern ein bestimmtes Ereignis eintritt, d. h. eine Zufallsvariable R_j einen vorgegebenen Wert annimmt. Dafür ist eine Prämie P_j zu zahlen.

Ein Kollektiv, bestehend aus N einzelnen Risiken R_j, j = 1, …, N, ist im Gleichgewicht, wenn der Erwartungswert des Gesamtrisikos \(\text{R}=\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N}{R}_{j}\) gleich der Prämiensumme ist, d. h.

\begin{eqnarray}E[\text{R}]=\displaystyle \sum _{j=1}^{N}{P}_{j}.\end{eqnarray}

Mit Hilfe des Gesetzes der großen Zahlen zeigt die Risikotheorie, daß die Varianz V(R) relativ E[R] umso geringer ist, je größer das Kollektiv ist. Somit sinkt die Wahrscheinlichkeit für einen überproportional hohen Gesamtverlust. Für N unabhängige identisch verteilte Risiken R_j ergibt sich aus der Tschebyschew-Ungleichung eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, daß der Gesamtschaden R vom Erwartungswert relativ um mehr als а abweicht:

\begin{eqnarray}P(|\text{R}-E[\text{R}]|\ge \alpha E[\text{R}])\lt \frac{V({R}_{j})}{{\alpha }^{2}NE({R}_{j})}.\end{eqnarray}