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Lexikon der Mathematik: Ausgleichsgerade

eine durch eine Punktemenge von n „Beobachtungen“ (xi, yi) mittels Ausgleichsrechnung gezogene Gerade y = ax + b.

Dabei wird die Gerade so gewählt, daß der Abstand der durch die Beobachtungen festgelegten Punkte im ℝ2 von der durch die Gerade definierten Kurve im ℝ2 für ein vorgegebenes Maß minimiert wird.

Hierzu verwendet man häufig die Methode der kleinsten Quadrate, es wird also die Quadratsumme

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({y}_{i}-(a{x}_{i}+b))}^{2}\end{eqnarray}

minimiert.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Attraktor
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Anschaulich bedeutet dies, daß für jeden Beobachtungspunkt (xi, yi) der in vertikaler Richtung genommene Abstand zwischen dem beobachteten Wert yi und dem auf der Gerade liegenden Wert axi + b betrachtet wird. Diese Abstände werden quadriert, aufsummiert und dann miminiert. Es folgt für

\begin{eqnarray}\tilde{x}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}\text{\hspace{1em}}\text{und}\text{\hspace{1em}}\bar{y}=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{y}_{i},\end{eqnarray}

daß

\begin{eqnarray}a=\frac{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}({x}_{i}-\bar{x})({y}_{i}-\bar{y})}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{({x}_{i}-\bar{x})}^{2}}\text{\hspace{1em}}\text{und}\text{\hspace{1em}}b=\bar{y}-a\bar{x}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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