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Lexikon der Mathematik: Auswahl ohne Zurücklegen

Prinzip der Ziehung einer Probe in der Kombinatorik.

Ist M = {a1, …, an} eine beliebige endliche Menge, so erhält man eine Auswahl aus M ohne Zurücklegen, indem man r Elemente aus M auswählt und dabei darauf achtet, daß ein einmal gewähltes Element kein zweites Mal ausgewählt werden kann. Die Auswahl ohne Zurücklegen entspricht also dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne, wobei eine gezogene Kugel nicht mehr in die Urne zurückgelegt wird.

Man unterscheidet bei solchen Proben, die durch Auswahl ohne Zurücklegen entstanden sind, zwischen geordneten und ungeordneten Proben und spricht dabei auch von Proben ohne Wiederholungen. Eine geordnete Probe vom Umfang r aus M ohne Wiederholung ist ein r-Tupel \(({a}_{{j}_{1}},\ldots, {a}_{{j}_{r}})\) mit 1 ≤ jin und jijk für ik. Hier macht es also einen Unterschied, ob man beispielsweise (a1, a2) oder (a2, a1) auswählt. Grundsätzlich gibt es

\begin{eqnarray}n.(n-1)\cdots (n-r+1)=(n\\ r).r!\end{eqnarray}

geordnete Proben ohne Zurücklegen vom Umfang r aus einer n-elementigen Menge. Dagegen ist eine ungeordnete Probe vom Umfang r aus M ohne Wiederholungen ein geordnetes Tupel \(({a}_{{j}_{1}},\ldots, {a}_{{j}_{r}})\) mit 1 ≤ jin und ji < ji+1 für alle i. Eine solche ungeordnete Probe ist Repräsentant aller geordneten Proben aus M, die dieselben Elemente enthalten. Grundsätzlich gibt es \((n\\ r)\) ungeordnete Proben ohne Zurücklegen vom Umfang r aus einer n-elementigen Menge.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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