die im folgenden abgeleitete meromorphe Funktion ƒ.

Sei H die obere Halbebene und г eine Fuchssche Gruppe. Mit H* sei die Vereinigung von H und der Menge der Spitzen von г bezeichnet. Wenn г \ H* kompakt ist, dann nennt man г eine Fuchssche Gruppe der ersten Art. Sei k eine ganze Zahl und г eine Fuchssche Gruppe der ersten Art. Für eine beliebige Funktion f (z) auf H definiert man die Operation eines Elementes \(\alpha =(a & b\\ c & d)\in G{l}_{2}^{+}({\rm{{\mathbb{R}}}})=\{\alpha \in G{l}_{2}({\rm{{\mathbb{R}}}})|\det (\alpha )\gt 0\}\)

durch

\begin{eqnarray}(f{|}_{k}\alpha )(z):=\det {(\alpha )}^{\frac{k}{2}}j{(\alpha, z)}^{-k}f(\alpha z),\end{eqnarray}

wobei z ∈ H und j(α,z) := cz + d für z ∈ ℂ.

Eine meromorphe Funktion f(z) auf H heißt automorphe Form vom Gewicht k bezüglich г oder einfach eine г -automorphe Form vom Gewicht k, wenn

\begin{eqnarray}f{|}_{k}\gamma =f\,fü\mathrm{r\; alle}\,\gamma \in {\rm{\Gamma }}.\end{eqnarray}

Die Menge aller automorphen Formen vom Gewicht k bezüglich Г ist ein Vektorraum über ℂ, der mit Ω_k (Γ) bezeichnet sei.

Man definiert für Г die Menge der meromorphen automorphen Formen

\begin{eqnarray}{{\mathscr{A}}}_{k}({\rm{\Gamma }}):=\{f\in {{\rm{\Omega }}}_{k}({\rm{\Gamma }})|f\mathrm{ist\; meromorph\; in\; allen\; spitzen\; von}{\rm{\Gamma }}\},\end{eqnarray}

die ein Vektorraum über ℂ ist. \({{\mathscr{A}}}_{0}({\rm{\Gamma }})\) ist ein Körper und wird automorpher Funktionenkörper bezüglich Г genannt. Die Elemente von \({{\mathscr{A}}}_{0}({\rm{\Gamma }})\) nennt man automorphe Funktionen bezüglich Г.

[1] Miyake, T.: Modular Forms. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York, 1989.