Gruppe aller konformen Abbildungen f von \({\mathbb{H}}\) = {z ∈ ℂ: Im z >0} auf sich. Sie wird mit Aut \({\mathbb{H}}\) bezeichnet und ist eine Gruppe bezüglich der Komposition ℝ von Abbildungen.

Jede Abbildung f ∈ Aut \({\mathbb{H}}\) ist eine Möbius-Transformation und kann in der Form

\begin{eqnarray}f(z)={f}_{A}(z):=\frac{az+b}{cz+d}\end{eqnarray}

mit

\begin{eqnarray}A:=(a & b\\ c & d)\in \text{SL}(2,{\rm{{\mathbb{R}}}})\end{eqnarray}

geschrieben werden. Dabei ist SL(2, ℝ) die spezielle lineare Gruppe aller reellen (2 × 2)-Matrizen A mit det A = 1. Die Abbildung A ↦ f_A definiert einen Gruppen-Homomorphismus von SL (2, ℝ) auf Aut \({\mathbb{H}}\), dessen Kern aus den Matrizen ± I besteht, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.