grundlegender Begriff für die Theorie der Klassifikation von Gebieten in \(\hat{{\rm{{\mathbb{C}}}}}\).

Eine konforme Abbildung eines Gebietes \(G\subset \hat{{\rm{{\mathbb{C}}}}}\) auf sich nennt man auch einen (holomorphen.) Automorphismus von G. Die Automorphismen von G bilden unter der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe eines Gebietes, die mit Aut G bezeichnet wird. Sind G und G* biholomorph äquivalent und ist f:G → G* konform, so ist für h ∈ Aut G* auch h∘f : G → G* konform. Sind umgekehrt f und g konforme Abbildungen von G auf G*, so ist g ∘ f^-1 ∈ Aut G*. Man erhält also alle konformen Abbildungen von G auf G*, indem man eine von ihnen mit allen Automorphismen von G* zusammensetzt.

Für spezielle ausgezeichnete Gebiete kann man die jeweilige Automorphismengruppe explizit angeben. Man vergleiche Automorphismengruppe von ℂ, Automorphismengruppe von ℂ^*, Automorphismengruppe von \({\mathbb{E}}\), Automorphismengruppe von \({\mathbb{H}}\).