Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: autoregressiver Prozeß der gleitenden Mittel

ARMA(p,q)-Prozeß, ein stochastischer Prozeß (X(t))t∈T mit diskretem Zeitbereich T = {…, −1, 0, 1, …}, der der Gleichung

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{a}_{k}X(t-k)=\displaystyle \sum _{k=0}^{q}{\beta }_{k}\varepsilon (t-k),t\in T\end{eqnarray}

genügt.

Dabei sind die Koeffizienten ak für k = 0, …, p und ßk für k = 0, …, q reelle Zahlen mit

\begin{eqnarray}{a}_{p}\ne 0,\beta (q))\text{}\ne 0\,\mathrm{und}\,{a}_{0}={\beta }_{0}=\text{}1,\end{eqnarray}

sowie (ϵ(t))t∈T eine Folge unkorrelierter Zufallsgrößen mit dem Erwartungswert E(ϵ(t)) = 0 und der Varianz V(ϵ(t)) = σϵ2 für alle tT. Die Zahlen (p, q) heißen Ordnungen des Prozesses (genauer spricht man hier auch von einem autoregressiven Prozeß der gleitenden Mittel der Ordnung (p, q)).

(X(t))tT ist im weiteren Sinne stationär, falls alle komplexen Nullstellen des Polynoms

\begin{eqnarray}P(z)=1+\displaystyle \sum _{k=1}^{p}{a}_{k}{z}^{k}\end{eqnarray}

außerhalb des Einheitskreises liegen. In diesem Fall ergibt sich für die Spektraldichte:

\begin{eqnarray}f(\lambda )=\frac{{\sigma }_{\varepsilon }^{2}}{2\pi }{|\frac{\displaystyle \sum {}_{k=0}^{q}{\beta }_{k}{e}^{i\lambda k}}{\displaystyle \sum {}_{k=0}^{p}{a}_{k}{e}^{i\lambda k}}|}^{2},-\pi \le \lambda \lt \pi.\end{eqnarray}

Als Spezialfälle ergeben sich für p = 0 der Prozeß der gleitenden Mittel der Ordnung q und für q = 0 der autoregressive Prozeß der Ordnung p.

Besitzt das Polynom \(P(z)=1+\displaystyle \sum {}_{k=1}^{p}{a}_{k}{z}^{k}\) die d-fache Nullstelle z = 1, d ∈ {1, …, p}, und sonst nur Nullstellen außerhalb des Einheitskreises, so spricht man von einem autoregressiven integrierten Prozeß der gleitenden Mittel der Ordnungen (p — d, d, q), bzw. von einem ARIMA(pd, d, q)-Prozeß.

ARMA-und ARIMA-Prozesse werden in der Zeitreihenanalyse zur Modellierung stochastischer zeitabhängiger Vorgänge angewendet.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos