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Lexikon der Mathematik: Ax-Kochen-Isomorphietheorem

Theorem zur Artinschen Vermutung bezüglich des Körpers ℚp der p-adischen Zahlen. Diese Vermutung, die mit (A, n, k) bezeichnet wird, besagt:

Jedes homogene Polynom f ∈ ℚp[x1, …, xn] vom Grad k mit n > k2besitzt eine nichttriviale Lösung inp.

Terjanian zeigte, daß die Artinsche Vermutung i.allg. nicht zutrifft. Lang betrachtete den Körper ℤp((t)) der formalen Potenzreihen über ℤp, der eine gewisse Ähnlichkeit mit ℚp aufweist, und wies nach, daß ℤp((t)) die Eigenschaft A(n, k) besitzt. Ax-Kochen und (unabhängig von ihnen) Ershov zeigten das folgende Theorem:

Für alle positiven ganzen Zahlen n, k gibt es eine endliche Menge P0(n, k) von Primzahlen so, daß für jede Primzahl pP0(n, k) die Artinsche Vermutung (A, n, k) gilt.

Eine andere Formulierung, die gewisse Analogien zwischen ℚp und ℤp((t)) ausnutzt, ist durch das folgende sog. Isomorphietheorem gegeben:

Ist P die Menge aller Primzahlen und U ein Ultrafilter über P, der nicht Hauptfilter ist, dann sind die Ultraprodukte \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{U}{{\rm{{\mathbb{Q}}}}}_{p}\,\text{und}\,\displaystyle \prod _{U}{{\rm{{\mathbb{Z}}}}}_{p}((t))\end{eqnarray}isomorph.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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