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Lexikon der Mathematik: Axiom

Aussage, die wegen ihres Inhalts grundlegend ist und als evident gilt und daher keines Beweises bedarf.

Zum Aufbau deduktiver mathematischer Theorien werden Axiome an den Anfang gestellt und mittels gültiger Beweisregeln daraus weitere Ergebnisse hergeleitet. Beweggründe dafür, daß eine bestimmte Aussage als Axiom für eine Theorie anzusehen ist, sind oft durch Zweckmäßigkeitsüberlegungen bestimmt und hegen häufig außerhalb dieser Theorie. Z.B. ist es für die klassische Mathematik zweckmäßig, das Auswahlaxiom der Mengenlehre zur Verfügung zu haben, da andernfalls wichtige Teilgebiete der Mathematik nicht begründet werden können. Die Gesamtheit der zugrundegelegten Axiome einer mathematischen Theorie heißt Axiomensystem dieser Theorie.

Eine wichtige Eigenschaft eines Axiomensystems ist seine Widerspruchsfreiheit, d. h. es gibt ein Modell, indem alle Axiome gültig sind. Diese Forderung läßt sich jedoch nicht in jedem Fall überprüfen. Es ist z. B. ungeklärt, ob die Axiome der Mengenlehre, die als ein Fundament der Mathematik angesehen werden, tatsächlich widerspruchsfrei sind.

Axiome einer Theorie sollen nach Möglichkeit voneinander unabhängig sein, d. h., ein Axiom darf nicht aus den restlichen Axiomen mit Hilfe der zulässigen Schlußregeln beweisbar sein (Axiomatische Mengenlehre, Axiome der Geometrie, Axiomensystem).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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