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Lexikon der Mathematik: Axiomensystem

eine „überschaubare“ (rekursive) Menge von Axiomen, die als Grundaussagen unbewiesen an den Anfang einer zu entwickelnden Theorie gestellt werden. Grundlegende Eigenschaften eines Axiomensystems sind seine Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit.

Diese Begriffe werden in der mathematischen Logik präzisiert. Von ihnen gibt es jeweils eine semantische und eine syntaktische Version, je nachdem, ob man sich bei der Definition auf das inhaltliche Folgern oder auf das formale Beweisen stützt. Da für elementare Theorien (elementare Sprachen) inhaltliches Folgern und formales Beweisen übereinstimmen, genügt es hier, jeweils nur die semantische Fassung anzugeben. Dazu sei Σ ein Axiomensystem.

Σ ist (semantisch) widerspruchsfrei, wenn aus Σ kein Widerspruch folgt (dies ist gleichbedeutend damit, daß Σ ein Modell besitzt).

Σ ist (semantisch) unabhängig, falls keins der Axiome aus den restlichen Axiomen folgt. Σ ist (semantisch) vollständig, wenn für jede Aussage ϕ der zugrundegelegten Sprache ϕ oder ¬ϕ aus Σ folgt.

Ist z. B. Σ die Menge der Körperaxiome, dann ist Σ widerspruchsfrei und unabhängig, jedoch nicht vollständig. Die ersten beiden Eigenschaften sind für Σ offensichtlich, da es Körper (Modelle von Σ ) gibt und da keins der Körperaxiome aus den restlichen Axiomen herleitbar ist. Ist ϕ eine elementare Aussage der Körpertheorie, die die Charakteristik mit p festlegt (p Primzahl), dann sind weder ϕ noch ¬ϕ aus Σ beweisbar.

Die Widerspruchsfreiheit ist eine notwendige Voraussetzung für eine sinnvolle axiomatische Theorie, die Unvollständigkeit der Axiome ist wünschenswert, aber nicht zwingend. Z.B. wurde über Jahrhunderte erfolgreich axiomatische Geometrie betrieben, ohne zu wissen, ob die benutzten Axiome tatsächlich unabhängig sind (Axiome der Geometrie). Die Vollständigkeit ist ebenfalls wünschenswert, jedoch nicht immer erreichbar. Eine hinreichend ausdrucksfähige und vollständige elementare Theorie (in der die Arithmetik Erster Ordnung ausdrückbar ist) ist nicht rekursiv axio- matisierbar (Beweistheorie), oder anders ausgedrückt: Besitzt eine hinreichend ausdrucksstarke Theorie ein rekursives Axiomensystem, dann ist dieses nicht vollständig. Die Axiome der Mengenlehre sind nicht vollständig, und es gibt auch keine rekursive vollständige Erweiterung. Z.B. bilden die Axiome der Körpertheorie kein vollständiges System, sie lassen sich aber zu einem vollständigen rekursiven System erweitern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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