Splinefunktion mit kompaktem Träger.

Ist eine Ordnung m und ein dafür zulässiger Knotenvektor x₁, x₂, ... gegeben, so kann man zeigen, daß es zu jedem Knoten x_j eine eindeutig bestimmte Splinefunktion s der Ordnung m gibt, deren Träger gerade das Intervall \([{x}_{j},{x}_{j+m}]\) ist, und die so normiert ist, daß gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}s(x)dx=1.\end{eqnarray}

Diese Funktion nennt man B-Splinefunktion und bezeichnet sie üblicherweise mit \({B}_{mj}\). Die Gesamtheit aller Knoten im Träger der B-Splinefunktionen bezeichnet man auch als Knotenvektor.

Die B-Splinefunktionen bilden eine Basis des Raumes aller Splinefunktionen der Ordnung m, wovon das „B” in ihrer Bezeichnung stammt.

Von entscheidender Bedeutung für das effiziente Arbeiten mit B-Splinefunktionen ist die Tatsache, daß sie mit Hilfe der de Boor-Cox-Rekursionsformel berechnet werden können. Diese lautet

\begin{eqnarray}{B}_{mj}(x)={\alpha }_{mj}(x){B}_{m-1,j}(x)+{\beta }_{mj}(x){B}_{m-1,j+1}(x)\end{eqnarray}

mit den Koeffizientenfunktionen

\begin{eqnarray}{\alpha }_{mj}(x)=\frac{m}{m-1}\cdot \frac{x-{x}_{j}}{{x}_{j+m}-{x}_{j}}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{\beta }_{mj}(x)=\frac{m}{m-1}\cdot \frac{{x}_{j+m}-{x}_{j}}{{x}_{j+m}-{x}_{j}.}\end{eqnarray}

B-Splinefunktionen gewinnen zunehmend an Bedeutung innerhalb der Computergraphik, hier insbesondere bei der Darstellung von B-Splinekurven und B-Splineflächen. In diesen Fällen wählt man eine etwas andere Normierung, man setzt

\begin{eqnarray}{N}_{mj}(x)=\frac{{x}_{j+m}-{x}_{j}}{m}\cdot {B}_{mj}(x)\end{eqnarray}

und bezeichnet die Funktionen \({N}_{mj}\) auch als normierte B-Splinefunktionen.

[1] de Boor, C.: A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag New York, 1978.
[2] Nürnberger, G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.
[3] Schumaker, L.L.: Spline Functions: Basic Theory. John Wiley & Sons New York, 1981.