lautet: Wieviele Gewichte braucht man mindestens, um mit einer Balkenwaage jedes ganzzahlige Gewicht von 1 bis 40 Pfund auswiegen zu können,

1. wenn man die Gewichte nur auf eine Waagschale legen darf,
2. wenn man beide Waagschalen benutzen darf?

Dieses Wägeproblem wurde schon im 13. Jahrhundert von Fibonacci erwähnt. Bachet beschrieb es in seinem 1612 erschienenen Buch „Problèmes plaisantes et delectables qui se font par les nombres“, weswegen es heute meist als Bachets Wägeproblem bezeichnet wird.

Im ersten Fall geht es darum, eine Menge G = {g₁, …, g_k}mit folgender Eigenschaft zu finden: Jede ganze Zahl N mit 1 ≤ N ≤ M = 40 läßt sich als Summe einer Auswahl von Gewichten aus G darstellen. Bachet gab die Lösung \begin{eqnarray}G=\{1,2,4,8,16,32\}.\end{eqnarray}

Daß dies eine Lösung ist, sieht man wie folgt: Jede natürliche Zahl N ≤ 40 besitzt eine (eindeutig bestimmte) Binärdarstellung \begin{eqnarray}N={({z}_{5}{z}_{4}{z}_{3}{z}_{2}{z}_{1}{z}_{0})}_{2}=\sum _{j=0}^{5}{z}_{j}\cdot {2}^{j}\end{eqnarray}mit 6 Ziffern z₀, …, z₅ ∈ {0, 1}. Um ein Gewicht von N Pfund auszuwiegen, bestimme man also zunächst die Binärdarstellung von N und wähle dann diejenigen Gewichte 2^j, für die z_j = 1 ist. Mit der Gewichtemenge G kann man auf diese Art jedes ganzzahlige Gewicht bis zum Maximum M = 63 Pfund auswiegen. Für M = 40 ist die Lösung (1) nicht eindeutig bestimmt; z. B. läßt sich mit der Gewichtemenge \begin{eqnarray}G^{\prime} =\{1,2,3,7,14,28\}\end{eqnarray}jedes ganzzahlige Gewicht bis 55 Pfund auswiegen. Man kann aber beweisen, daß für M = 40 mindestens 6 Gewichte notwendig sind.

Im zweiten Fall ist eine möglichst kleine Menge B = {b₀, …, b_k} derart gesucht, daß sich jede natürliche Zahl ≤ M = 40 in folgender Weise darstellen läßt: \begin{eqnarray}N={z}_{0}\cdot {b}_{0}+{z}_{1}\cdot {b}_{1}+{z}_{2}\cdot {b}_{2}+\ldots \end{eqnarray}mit „Ziffern“ z₀, z₁, … ∈ {−1, 0, 1}. Das ist so zu interpretieren: Man lege zunächst das auszuwiegende Gewicht N auf die linke Waagschale. Für jedes j = 0, 1, … lege man dann bj nach links, falls z_j = −1, b_j nach rechts, falls z_j= 1, und man lasse b_j weg, falls z_j= 0. Bachet gab für diesen Fall die Lösung \begin{eqnarray}B=\{1,3,9,27\}.\end{eqnarray}

Dies ist eine Lösung, denn jede ganze Zahl n mit \begin{eqnarray}|n|\le \frac{1}{2}({3}^{k}-1)\end{eqnarray}besitzt eine eindeutig bestimmte balancierte ternäre Darstellung mit k Ziffern z₀, …, z_k−1 ∈ {−1, 0, 1}. Für k = 4 ist \(\frac{1}{2}({3}^{k}-1)=40\), also benötigt man mindestens 4 Gewichte, und Bachets Lösung (3) ist die einzige Lösung dieses Wägeproblems.