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Lexikon der Mathematik: Bachetsche Gleichung

die diophantische Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{3}-{y}^{2}=c\end{eqnarray} mit einer gegebenen Zahl c ∈ ℤ.

Bei manchen Autoren heißt (1) auch Mordellsche Gleichung.

Bachet studierte Anfang des 17. Jahrhunderts die Frage, ob und auf wieviele Arten sich die Zahl 2 als Differenz einer Kubikzahl und einer Quadratzahl darstellen läßt. Das ist gerade die Frage nach den ganzzahligen Lösungen von (1) für c = 2. Bei diesen Studien fand er 1621 folgenden erstaunlichen Sachverhalt, der auch als Bachetsche Verdoppelungsformel bekannt ist:

Ist (x, y) eine Lösung von (1) mit y ≠ 0, so ist das Paar \begin{eqnarray}(\frac{{x}^{4}-8cx}{4{y}^{2}},\,\frac{-{x}^{6}-20c{x}^{3}+8{c}^{2}}{8{y}^{3}})\end{eqnarray}ebenfalls eine Lösung von (1).

Dies erlaubt es in den meisten Fällen, aus einer bereits gefundenen rationalen Lösung von (1) weitere rationale Lösungen zu errechnen.

Bachet leitete die Formel (2) mittels seiner Tangentenmethode her, die ganz allgemein zur Konstruktion rationaler Punkte auf algebraischen Kurven tauglich ist.

Da die Komponenten von (2) i. allg. keine ganzen Zahlen mehr sind, löst die Bachetsche Verdoppelungsformel nicht das Problem der ganzzahligen Lösungen von (1).

Fermat stellte um 1650 das Problem, zu beweisen, daß die Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{3}-{y}^{2}=2\end{eqnarray}in den ganzen Zahlen nur die Lösungen (x, y) = (3, ±5) besitzt. Ein vollständiger Beweis dieser Behauptung wurde erst 1880 publiziert.

Thue bewies 1908, daß die Bachetsche Gleichung (1) für c ≠ 0 nur endlich viele ganzzahlige Lösungen besitzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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