Bildbereich einer Operation einer Gruppe auf einem bestimmten Element einer Menge. Es sei G eine Gruppe und M eine nicht-leere Menge. Ist eine Operation G × M → M gegeben mit (a, x) → a(x) für alle x ∈ M, so heißt die Menge \begin{eqnarray}G(x)=\{a(x)|a\in G\}\subseteq M\end{eqnarray} die Bahn oder auch der Transitivitätsbereich oder der Orbit von x ∈ M unter der gegebenen Operation.

Mit Hilfe von Bahnen läßt sich eine Gleichung über die Kardinalität einer endlichen Menge formulieren, die sogenannte Bahnengleichung. Ist dabei τ : G × X → X eine Operation, so wird durch x ~_τy ⇔ y ∈ G(x) eine Äquivalenzrelation auf M definiert, wobei die Bahnen der Elemente aus M genau die Äquivalenzklassen von ~_τ sind. Weiterhin kann man für jedes Element x ∈ M die zugehörige Isotropiegruppe von x bezüglich τ definieren durch \begin{eqnarray}{{\rm{Iso}}}_{\tau }(G,x)=\{a\in G|a(x)=x\}.\end{eqnarray}

Mit diesen Definitionen gilt dann die Bahnengleichung.

Ist unter den obigen Bedingungen V ein vollständiges Vertretersystem bezüglich der Äquivalenzrelation ~_τ, so gilt: \begin{eqnarray}|M|=\sum _{x\in M}|G(x)|=\sum _{x\in M}[G:{{\rm{Iso}}}_{\tau }(G,\,x)].\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet |M| die Kardinalität der endlichen Menge M und [G : Iso_τ(G, x)] den Index der Isotropiegruppe von x bezüglich τ in G.