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Lexikon der Mathematik: Bahn

Bildbereich einer Operation einer Gruppe auf einem bestimmten Element einer Menge. Es sei G eine Gruppe und M eine nicht-leere Menge. Ist eine Operation G × MM gegeben mit (a, x) → a(x) für alle xM, so heißt die Menge \begin{eqnarray}G(x)=\{a(x)|a\in G\}\subseteq M\end{eqnarray} die Bahn oder auch der Transitivitätsbereich oder der Orbit von xM unter der gegebenen Operation.

Mit Hilfe von Bahnen läßt sich eine Gleichung über die Kardinalität einer endlichen Menge formulieren, die sogenannte Bahnengleichung. Ist dabei τ : G × XX eine Operation, so wird durch x ~τyyG(x) eine Äquivalenzrelation auf M definiert, wobei die Bahnen der Elemente aus M genau die Äquivalenzklassen von ~τ sind. Weiterhin kann man für jedes Element xM die zugehörige Isotropiegruppe von x bezüglich τ definieren durch \begin{eqnarray}{{\rm{Iso}}}_{\tau }(G,x)=\{a\in G|a(x)=x\}.\end{eqnarray}

Mit diesen Definitionen gilt dann die Bahnengleichung.

Ist unter den obigen Bedingungen V ein vollständiges Vertretersystem bezüglich der Äquivalenzrelation ~τ, so gilt: \begin{eqnarray}|M|=\sum _{x\in M}|G(x)|=\sum _{x\in M}[G:{{\rm{Iso}}}_{\tau }(G,\,x)].\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet |M| die Kardinalität der endlichen Menge M und [G : Isoτ(G, x)] den Index der Isotropiegruppe von x bezüglich τ in G.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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