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Lexikon der Mathematik: Bairesche Klassifikation

Klassifikation von (re-ellwertigen) Funktionen.

Ist X ein metrischer Raum, so definiert man rekursiv die Baireschen Klassen Hk := Hk(X) der Ordnung k wie folgt: Es seien \begin{eqnarray}{H}_{0}:={H}_{0}(X):=\{f|f:X\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\,{\rm{stetig}}\}\end{eqnarray}also gerade die Menge der auf X stetigen reellwer- tigen Funktionen, und Hk+1:— Hk+1(X) die Gesamtheit der reellwertigen Funktionen f auf X, zu denen es eine Folge (fn) aus Hk(X) gibt, die gegen f punktweise konvergiert, für die also fn(x) →f (x) für alle xX gilt. Statt „Bairesche Klasse der Ordnung k“ sagt man auch k-te Bairesche Klasse.

Betrachtet man zum Beispiel auf X = [0, 1] die Folge der stetigen (sogar beliebig oft differenzierbaren) Funktionen fn, definiert durch fn(x) := xn, so hat man offenbar punktweise Konvergenz gegen die durch \begin{eqnarray}f(x):=\{0, & {\rm{falls}}\,x\in [0,\,1),\\ 1, & {\rm{falls}}\,x=1\end{eqnarray}gegebene – in x = 1 unstetige – Funktion f.

Bei nur punktweiser Konvergenz kann man also den Bereich der stetigen Funktionen verlassen und erhält zusätzliche Funktionen. Bei gleichmäßiger Konvergenz hingegen verbleibt man im Bereich stetiger Funktionen. (Dies ist gerade die Aussage des Satzes von Weierstraß.)

Für die naheliegende Erweiterung der Definition der Baireschen Klassen zu gegebenen Ordinalzahlen sei z. B. verwiesen auf [1].

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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