Klassifikation von (re-ellwertigen) Funktionen.

Ist X ein metrischer Raum, so definiert man rekursiv die Baireschen Klassen Hk := Hk(X) der Ordnung k wie folgt: Es seien \begin{eqnarray}{H}_{0}:={H}_{0}(X):=\{f|f:X\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\,{\rm{stetig}}\}\end{eqnarray}also gerade die Menge der auf X stetigen reellwer- tigen Funktionen, und H_k+1:— H_k+1(X) die Gesamtheit der reellwertigen Funktionen f auf X, zu denen es eine Folge (f_n) aus H_k(X) gibt, die gegen f punktweise konvergiert, für die also f_n(x) →f (x) für alle x ∈ X gilt. Statt „Bairesche Klasse der Ordnung k“ sagt man auch k-te Bairesche Klasse.

Betrachtet man zum Beispiel auf X = [0, 1] die Folge der stetigen (sogar beliebig oft differenzierbaren) Funktionen f_n, definiert durch f_n(x) := xⁿ, so hat man offenbar punktweise Konvergenz gegen die durch \begin{eqnarray}f(x):=\{0, & {\rm{falls}}\,x\in [0,\,1),\\ 1, & {\rm{falls}}\,x=1\end{eqnarray}gegebene – in x = 1 unstetige – Funktion f.

Bei nur punktweiser Konvergenz kann man also den Bereich der stetigen Funktionen verlassen und erhält zusätzliche Funktionen. Bei gleichmäßiger Konvergenz hingegen verbleibt man im Bereich stetiger Funktionen. (Dies ist gerade die Aussage des Satzes von Weierstraß.)

Für die naheliegende Erweiterung der Definition der Baireschen Klassen zu gegebenen Ordinalzahlen sei z. B. verwiesen auf [1].