Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Banach-Hausdorff-Tarski-Paradoxon

lautet:

Es seien A und B beschränkte Mengen mit nichtleerem Inneren aus ℝn mit n > 3. Dann gibt es ein m ∈ ℕ und paarweise disjunkte Zerlegungen \(A={\cup }_{i=A}^{m}{A}_{i}\) und \(B={\cup }_{i=1}^{m}{B}_{i}\)so, daß Ai kongruent Bi ist für alle i = 1, …, m. Hausdorff zeigte, daß in ℝ3 eine Einheitskugel in fünf Teile so zerlegt werden kann, daß daraus zwei Einheitskugeln gebildet werden können.

Aus diesem Paradoxon folgt, daß mindestens ein Zerlegungsteil Ai bzw. Bi nicht Lebesgue-meßbar ist, falls n ≥ 3 und das Lebesgue-Maß von A ungleich dem von B ist. Der Lebesgue-Inhalt kann also nicht auf die Potenzmenge 𝒫(ℝn) für n ≥ 3 fortgesetzt werden.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos