Maß zur quantitativen Unterscheidung isomorpher (insbes. endlichdimensionaler) Banachräume. Seien X und Y isomorphe Banachräume. Ihr Banach-Mazur-Abstand wird als \begin{eqnarray}d(X,Y) & = & \inf \{\Vert T\Vert \Vert {T}^{-1}\Vert :\\ & & T:X\to Y\,\text{Isomorphismus}\}\end{eqnarray} definiert. Dieser „Abstand“ erfüllt die multiplikative Dreiecksungleichung \begin{eqnarray}d(X,Z)\le d(X,Y)d(Y,Z).\end{eqnarray}

Sind X und Y isometrisch isomorph, so ist offensichtlich d(X, Y) = 1; die Umkehrung gilt i. allg. nicht, es sei denn, die Räume sind endlichdimensional.

Sei X ein n-dimensionaler reeller Banachraum. Der Satz von John impliziert, daß der Banach-Mazur-Abstand von X zum n-dimensionalen Hilbertraum ℓ²(n) höchstens \(\sqrt{n}\) ist: \begin{eqnarray}d(X,{\ell }^{2}(n))\le \sqrt{n}.\end{eqnarray}

Daher erfüllt der Banach-Mazur-Abstand zweier n-dimensionaler Räume d(X, Y) ≤ n.

Mit der Methode der Gluskin-Räume kann man beweisen, daß diese Abschätzung asymptotisch optimal ist: Es existieren eine Konstante c > 0 und Folgen endlichdimensionaler Räume mit dim(X_n) = dim(Y_n) = n so, daß d(X_n, Y_n) ≥ cn ist. (Dazu beachte man, daß d(ℓ¹(n), ℓ^∞(n)) nur von der Größenordnung \(\sqrt{n}\) ist.)