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Lexikon der Mathematik: Banach-Saks, Satz von

Satz über die Konvergenz einer Folge arithmetischer Mittel im Raum Lp:

Sei (fn) eine beschränkte Folge in Lp(μ) für ein 1 < p < ∞.

Dann existiert eine Teilfolge \(({f}_{{n}_{j}})\)so, daß die Folge der arithmetischen Mittel \(\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^{m}{f}_{{n}_{j}}\)in der Norm von Lp (μ) konvergiert.

Der Satz von Banach-Saks wurde von Kakutani auf gleichmäßig konvexe Räume ausgedehnt. Für p = 1 gilt der Satz von Banach-Saks nicht mehr; hier hat man den Satz von Komlós:

Sei (fn) eine beschränkte Folge in L1(μ). Dann existiert eine Teilfolge \(({f}_{{n}_{j}})\)so, daß die Folge der arithmetischen Mittel \(\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^{m}{f}_{{n}_{j}}\)fast überall gegen eine Funktion gL1(μ) konvergiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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