Satz über die Konvergenz einer Folge arithmetischer Mittel im Raum L_p:

Sei (f_n) eine beschränkte Folge in L^p(μ) für ein 1 < p < ∞.

Dann existiert eine Teilfolge \(({f}_{{n}_{j}})\)so, daß die Folge der arithmetischen Mittel \(\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^{m}{f}_{{n}_{j}}\)in der Norm von L^p (μ) konvergiert.

Der Satz von Banach-Saks wurde von Kakutani auf gleichmäßig konvexe Räume ausgedehnt. Für p = 1 gilt der Satz von Banach-Saks nicht mehr; hier hat man den Satz von Komlós:

Sei (f_n) eine beschränkte Folge in L¹(μ). Dann existiert eine Teilfolge \(({f}_{{n}_{j}})\)so, daß die Folge der arithmetischen Mittel \(\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^{m}{f}_{{n}_{j}}\)fast überall gegen eine Funktion g ∈ L¹(μ) konvergiert.