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Lexikon der Mathematik: Banach-Steinhaus, Satz von

Aussage über die punktweise Konvergenz stetiger linearer Abbildungen.

Es seien V und W Banachräume und (Tn) eine Folge von stetigen linearen Abbildungen \begin{eqnarray}{T}_{n}:V\to W.\end{eqnarray}

Genau dann konvergiert die Folge Tnpunktweise gegen eine stetige lineare Abbildung T : VW, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Die Folge der NormenTnist beschränkt.
  2. Es gibt eine in V dichte Menge M, so daß für alle xM die Folge (Tn(x)) konvergiert.

Mit diesem Satz kann man also einerseits von der punktweisen Konvergenz auf einer dichten Menge zurückschließen auf die punktweise Konvergenz auf dem gesamten Banachraum, und andererseits von der punktweisen Konvergenz auf dem Banachraum auf die Beschränktheit der Folge der Normen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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