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Lexikon der Mathematik: Banach-Verband

ein reeller Banachraum, der gleichzeitig ein Vektorverband ist, so daß die Verbandsstruktur und die Norm gemäß \begin{eqnarray}|x|\le |y| & \Rightarrow & \Vert x\Vert \le \Vert y\Vert \end{eqnarray}kompatibel sind. Beispiele für Banach-Verbände sind die Funktionenräume Lp(μ) und C(K), Orlicz-Räume sowie die entsprechenden Folgenräume p, c0, c etc.; die Ordnung ist jeweils punktweise (evtl. fast überall) erklärt.

Der Dualraum eines Banach-Verbands wird durch \begin{eqnarray}x^{\prime} \ge y^{\prime} & \iff & x^{\prime} (x)\ge y^{\prime} (x)\forall x\ge 0\end{eqnarray}seinerseits zu einem Banach-Verband, der stets Dedekind-vollständig ist und dualer Banach-Verband genannt wird; zu Operatoren auf Banach- Verbänden vgl. Abbildungen zwischen Vektorverbänden.

Ein Banach-Verband X hat eine ordnungsstetige Norm, wenn jedes monoton fallende Netz mit Infimum 0 in der Norm gegen 0 konvergiert. Das trifft genau dann zu, wenn X ein Ideal im bidualen Banach-Verband X″ ist bzw. wenn jedes abgeschlossene Ideal in X ein Projektionsband ist (Band eines Vektorverbands).

Komplexe Banach-Verbände werden durch Kom- plexifizierung reeller Banach-Verbände definiert. Ist X ein reeller Banach-Verband und X= XiX die kanonische Komplexifizierung des Vektorraums X, so existiert das Supremum \begin{eqnarray}|x+iy|:=\sup \{|(\cos \vartheta )x+(\sin \vartheta )y|:0\le v\le 2\pi \}.\end{eqnarray}

Setzt man noch \begin{eqnarray}\Vert x+iy\Vert :=\Vert |x+iy|\Vert,\end{eqnarray} so wird X zu einem komplexen Banachraum; X heißt dann komplexer Banach-Verband. Geht man z. B. von X = Lp(μ, ℝ) aus, liefert diese Methode X = Lp(μ, ℂ).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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