eine Abbildung ξ von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, ℙ) in einen Banachraum X mit geeigneten Meßbarkeitseigenschaften; man fordert ξ⁻¹(0) ∈ Σ für alle offenen Teilmengen O ⊂ X und die wesentliche Separabilität von ξ(Ω), d. h. daß ξ(Ω\N) für eine geeignete Nullmenge separabel ist.

Dann bilden die X-wertigen Zufallsvariablen einen Vektorraum. Ist ω ↦ ‖ξ(ω)‖ integrierbar, so existiert das Bochner-Integral ∫_Ωξ dℙ, das dann Erwartungswert von ξ genannt wird.

Die Gültigkeit der aus der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie bekannten Grenzwertsätze für banachraumwertige Zufallsvariable hängt von der Geometrie des Bildraums ab. Z. B. gilt für jede Folge unabhängiger Zufallsvariabler ξ_j mit 𝔼ξ_j= 0 und \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\mathbb{E}}{\Vert {\xi }_{j}\Vert }^{p}/{j}^{p}\lt \infty \end{eqnarray} das starke Gesetz der großen Zahlen, also \begin{eqnarray}\frac{1}{\mathrm{n}}\sum _{j=1}^{n}{\xi }_{j}\to 0\,{\rm{f.s.}}\end{eqnarray} genau dann, wenn X Typ p hat (Typ und Kotyp eines Banachraums).

Der zentrale Grenzwertsatz gilt in Räumen vom Typ 2: Seien ξ₁, ξ₂, … unabhängige Kopien einer X-wertigen Zufallsvariable ξ mit 𝔼ξ = 0 und 𝔼‖ξ‖² < ∞ dann konvergiert \begin{eqnarray}{n}^{-1/2}\sum _{j=1}^{n}{\xi }_{j}\end{eqnarray} schwach, wenn X vom Typ 2 ist.