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Lexikon der Mathematik: banachraumwertige Zufallsvariable

eine Abbildung ξ von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, ℙ) in einen Banachraum X mit geeigneten Meßbarkeitseigenschaften; man fordert ξ−1(0) ∈ Σ für alle offenen Teilmengen OX und die wesentliche Separabilität von ξ(Ω), d. h. daß ξ(Ω\N) für eine geeignete Nullmenge separabel ist.

Dann bilden die X-wertigen Zufallsvariablen einen Vektorraum. Ist ω ↦ ‖ξ(ω)‖ integrierbar, so existiert das Bochner-IntegralΩξ dℙ, das dann Erwartungswert von ξ genannt wird.

Die Gültigkeit der aus der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie bekannten Grenzwertsätze für banachraumwertige Zufallsvariable hängt von der Geometrie des Bildraums ab. Z. B. gilt für jede Folge unabhängiger Zufallsvariabler ξj mit 𝔼ξj= 0 und \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\mathbb{E}}{\Vert {\xi }_{j}\Vert }^{p}/{j}^{p}\lt \infty \end{eqnarray} das starke Gesetz der großen Zahlen, also \begin{eqnarray}\frac{1}{\mathrm{n}}\sum _{j=1}^{n}{\xi }_{j}\to 0\,{\rm{f.s.}}\end{eqnarray} genau dann, wenn X Typ p hat (Typ und Kotyp eines Banachraums).

Der zentrale Grenzwertsatz gilt in Räumen vom Typ 2: Seien ξ1, ξ2, … unabhängige Kopien einer X-wertigen Zufallsvariable ξ mit 𝔼ξ = 0 und 𝔼‖ξ2 < ∞ dann konvergiert \begin{eqnarray}{n}^{-1/2}\sum _{j=1}^{n}{\xi }_{j}\end{eqnarray} schwach, wenn X vom Typ 2 ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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