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Lexikon der Mathematik: Banachscher Fixpunktsatz

fundamentaler Fixpunktsatz mit Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik.

Ist (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und T : MM eine Abbildung, für die eine Zahl q < 1 mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}d(Tx,Ty)\le qd(x,y) & \forall x,y\in M\end{eqnarray}existiert (solch eine Abbildung heißt kontrahierend), so besitzt T genau einen Fixpunkt \(\overline{x}\).

Dieser kann als Grenzwert der Folge der Iterationen \begin{eqnarray}{x}_{n+1}=T{x}_{n}\end{eqnarray}bei beliebigem Startwert x0M gewonnen werden. Es gelten die A priori-Fehlerabschätzung \begin{eqnarray}d({x}_{n},\overline{x})\le \frac{{q}^{n}}{1-q}d({x}_{1},{x}_{0})\end{eqnarray} und die A posteriori-Fehlerabschätzung \begin{eqnarray}d({x}_{n},\overline{x})\le \frac{q}{1-q}d({x}_{n-1},{x}_{n})\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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