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Lexikon der Mathematik: Barnsley-Farn

Beispiel einer fraktalen Menge. Es seien folgende affine kontrahierende Abbildungen fi : ℝ2 → ℝ2i ∈ {1, …, 4}, gegeben: \begin{eqnarray}{f}_{1}(x,y) & = & (0,85 & 0,04\\ -0,04 & 0,85)(x\\ y)+(0\\ 1,60),\\ {f}_{2}(x,y) & = & (-0,15 & 0,28\\ 0,26 & 0,24)(x\\ y)+(0\\ 0,44),\\ {f}_{3}(x,y) & = & (0,20 & -0,26\\ 0,23 & 0,22)(x\\ y)+(0\\ 1,60),\\ {f}_{4}(x,y) & = & (0 & 0\\ 0 & 0,16)(x\\ y).\end{eqnarray}

Für eine kompakte Teilmenge A ⊂ ℝ2 sei weiterhin die folgende Abbildung gegeben: \begin{eqnarray}T:A\mapsto T(A):=\underset{i=1}{\overset{4}{\cup }}{f}_{i}(A).\end{eqnarray}

Die Mengenfolge, definiert durch An+1 := T(An) für n ∈ ℕ0 mit kompakter Teilmenge A0 ⊂ ℝ2 konvergiert dann für n → ∞ bezüglich der Hausdorff-Metrik gegen den Barnsley-Farn. Die Bezeichnungrührt daher, daß das Bild des Barnsley-Farns an das Blatt einer Farn-Pflanze erinnert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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