Beispiel einer fraktalen Menge. Es seien folgende affine kontrahierende Abbildungen f_i : ℝ² → ℝ²i ∈ {1, …, 4}, gegeben: \begin{eqnarray}{f}_{1}(x,y) & = & (0,85 & 0,04\\ -0,04 & 0,85)(x\\ y)+(0\\ 1,60),\\ {f}_{2}(x,y) & = & (-0,15 & 0,28\\ 0,26 & 0,24)(x\\ y)+(0\\ 0,44),\\ {f}_{3}(x,y) & = & (0,20 & -0,26\\ 0,23 & 0,22)(x\\ y)+(0\\ 1,60),\\ {f}_{4}(x,y) & = & (0 & 0\\ 0 & 0,16)(x\\ y).\end{eqnarray}

Für eine kompakte Teilmenge A ⊂ ℝ² sei weiterhin die folgende Abbildung gegeben: \begin{eqnarray}T:A\mapsto T(A):=\underset{i=1}{\overset{4}{\cup }}{f}_{i}(A).\end{eqnarray}

Die Mengenfolge, definiert durch A_n+1 := T(A_n) für n ∈ ℕ₀ mit kompakter Teilmenge A₀ ⊂ ℝ² konvergiert dann für n → ∞ bezüglich der Hausdorff-Metrik gegen den Barnsley-Farn. Die Bezeichnungrührt daher, daß das Bild des Barnsley-Farns an das Blatt einer Farn-Pflanze erinnert.