Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Basis eines Vektorraumes

eine linear unabhängige und den Vektorraum erzeugende Familie von Elementen des Vektorraumes.

Ist \begin{eqnarray}B={({b}_{i})}_{i\in I}\end{eqnarray} eine Basis des Vektorraumes V ≠ {0}, so gibt es zu jedem v ≠ 0 ∈ V genau eine endliche Teilfamilie \(({b}_{{i}_{1}},\,\ldots,{b}_{{i}_{n}})\) von B und hierzu eindeutig bestimmte Skalare α1,…, αn ∈ 𝕂\{0}, so daß gilt: \begin{eqnarray}v=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}{b}_{ij}.\end{eqnarray}

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis, wie man mit Hilfe des Zornschen Lemmas beweist.

Die leere Menge ist die einzige Basis des Nullraumes {0}.

Eine Familie B von Elementen eines Vektorraumes V ist genau dann Basis von V, wenn sie minimales Erzeugendensystem von V ist, d. h. falls sie V erzeugt, jede echte Teilfamilie von B den Raum V jedoch nicht erzeugt.

Eine Familie B von Elementen eines Vektorraumes V ist genau dann Basis von V, wenn sie maximal linear unabhängig ist, d. h., falls sie linear unabhängig ist, jede Familie, die sie als echte Teilfamilie enthält, jedoch linear abhängig ist. Ist B eine Basis des Vektorraumes V, so wird ein bB als Basisvektor bezeichnet. Ist V von endlicher Dimension n, so enthält jede Basis von V genau n Elemente.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos