Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Basistransformation

Überführung einer Basis b = (b1, …, bn) eines n-dimensionalen Vektorraumes V über 𝕂 in eine Basis \(b^{\prime} =({b}_{1}^{^{\prime} },\ldots,{b}_{n}^{^{\prime} })\) von V mittels einer regulären (n × n)-Übergangsmatrix A = (aij) über 𝕂 durch folgendes Schema: \begin{eqnarray}{b}_{i}^{^{\prime} }=\sum _{j=1}^{n}{a}_{ij}{b}_{j}\end{eqnarray} für 1 ≤ in.

Mit bi = (bi1, …, bin) und \({b}_{i}^{^{\prime} }=({b}_{i1}^{^{\prime} },\ldots,{b}_{in}^{^{\prime} })\) (1 ≤ in) gilt mit den beiden (n × n)-Matrizen B = (bij) und \(B^{\prime} =({b}_{ij}^{^{\prime} })\) also \begin{eqnarray}AB=B^{\prime} .\end{eqnarray}

(In der i-ten Zeile der Matrix A stehen die Koordinaten des i-ten Basisvektors \({b}_{i}^{^{\prime} }\) von b′ bzgl. der Basis b.)

Ist A nicht regulär, so ist \(b^{\prime} =({b}_{1}^{^{\prime} },\ldots,{b}_{n}^{^{\prime} })\) keine Basis von V.

Überführt die Matrix A die Basis b in die Basis b′, so überführt die Matrix A−1 die Basis b′ in b (Basiswechsel).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos