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Lexikon der Mathematik: Bayessche Formel

Formel (1) im folgenden Satz von Bayes:

Sei (Ω, 𝒜, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B ∈ 𝒜 ein Ereignis mit P(B) > 0. Sei I = {1, …, n} mit n ∈ ℕ oder I = ℕ und (Ai)iIeine Folge von paarweise disjunkten Ereignissen Ai ∈ 𝒜 mit P(Ai) > 0 für alle iI und mitiIAi = Ω.

Dann gilt für alle iI \begin{eqnarray}P({A}_{i}|B)=\frac{P({A}_{i})P(B|{A}_{i})}{{\sum }_{i\in I}P({A}_{i})P(B|{A}_{i})}.\end{eqnarray}

Dabei heißt P(Ai) apriori-Wahrscheinlichkeit von Ai, und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Ai|B) heißt a posteriori-Wahrscheinlichkeit von Ai.

Das folgende Beispiel zeigt eine typische Anwendung der Bayesschen Formel: Die Wahrscheinlichkeit, daß ein medizinischer Test zur Diagnose von TBC bei einer Testperson positiv ausfällt (Ereignis B) beträgt 99%, falls die Person TBC hat (Ereignis A1). Sie beträgt 3%, falls die Person keine TBC hat (Ereignis A2). Jede Testperson ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% an TBC erkrankt.

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A1|B), daß eine Testperson TBC hat, falls der Test bei ihr positiv ausgefallen ist. A2 ist das zu A1 komplementäre Ereignis. Mit P(A1) = 1/100, P(A2) = P(B|A1) = 99/100 und P(B|A2) = 3/100 folgt aus der Bayesschen Formel P(A1|B) = 1/4.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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