Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: bedingte Verteilung

bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung, Verallgemeinerung des Begriffs der Verteilung einer Zufallsvariablen mit dem Ziel, die Verteilung unter gegebenen Vorbedingungen zubeschreiben.

Sei (Ω, 𝒜, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, 𝒞 ⊂ 𝒜 eine Unter-σ-Algebra und X eine Zufallsvariable auf (Ω, 𝒜, P) mit Werten in einem Meßraum (E, ϵ). Eine Abbildung PX|𝒞 : Ω × ϵ → [0, 1], (ω, B) ↦ PX|𝒞(ω, B), heißt bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞, falls folgendes gilt:

  1. Für alle ω ∈ Ω wird durch die Abbildung B ↦ PX|C (ω, B) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ϵ definiert.
  2. Für alle Bϵ ist die Abbildung ωPX|𝒞(ω, B) eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P({XB}|𝒞) von {XB} bezüglich 𝒞

(bedingte Wahrscheinlichkeit bezüglich einer Unter-σ-Algebra).

Besonders einfach läßt sich die (in diesem Fall eindeutig bestimmte) bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞 angeben, wenn 𝒞 von paarweise disjunkten Mengen A1, …, An ∈ 𝒜 mit Ω = A1 ∪ … ∪ An sowie P(Ai) > 0, i = 1, …, n erzeugt wird.

Für Bϵ und ωAi ist dann PX|𝒞(ω, B) gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit P({XB}|Ai) von {XB} gegeben Ai. Daraus folgt insbesondere, daß PX|𝒞(ω, ·) für alle ω ∈ Ω gleich der Verteilung PX von X ist, falls \({\mathscr{C}}=\{\rlap{/}{0},{\rm{\Omega }}\}\).

Ein hinreichendes Kriterium für die Existenz einer bedingten Verteilung von X bezüglich 𝒞 gibt folgender Satz:

Ist E ein Polnischer Raum und ϵ die Borel-σ-Algebra auf E, so existiert eine bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞.

Insbesondere existiert PX|𝒞, falls X reellwertig ist, also E = ℝ. In diesem Fall nennt man die Abbildung FX|𝒞 : Ω × R → [0, 1], \begin{eqnarray}{F}_{X|{\mathscr{C}}}(\omega,x):={P}_{X|{\mathscr{C}}}(\omega,(-\infty,x])\end{eqnarray} bedingte Verteilungsfunktion von X bezüglich 𝒞 oder reguläre bedingte Verteilungsfunktion von X bezüglich 𝒞.

Wird die Unter-σ-Algebra 𝒞 von einer Zufallsvariablen Y : (Ω, 𝒜) → (F, ℱ) mit Werten in einem Meßraum (F, ℱ) erzeugt, so nennt man PX|𝒞 bedingte Verteilung von X gegeben Y und schreibt statt PX|𝒞 auch PX|Y. Sind speziell X und Y unabhängige Zufallsvariablen und ist PX die Verteilung von X, so ist PX|Y (ω, B) := PX (B), ω ∈ Ω, Bϵ, eine bedingte Verteilung von X gegeben Y.

Häufig möchte man den Einfluß von Y auf die Verteilung von X weniger durch die von Y erzeugte Unter-σ-Algebra, als durch die Werte von Y beschreiben. Sei PY die Verteilung von Y und Q : F × ϵ → [0, 1], (y, B) ↦ Q(y, B) eine dung, für die folgendes gilt:

  1. Für alle yF wird durch die Abbildung BQ(y, B) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ϵ definiert.
  2. Für alle Bϵ ist die Abbildung yQ(y, B) ℱ-meßbar, und es gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{D}Q(y,B){P}_{Y}(dy)=P(\{X\in B\}\cap \{Y\in D\})\end{eqnarray}für alle D ∈ ℱ, d. h. Q(y, B) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit P({XB} Y = y) von {XB} gegeben Y = y (bedingte Wahrscheinlichkeit bezüglich einer Unter-σ-Algebra).

Für alle y ∈ ℱ heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß Q(y, ·) bedingte Verteilung von X gegeben Y = y, in Zeichen PX|Y=y. Eine solche Abbildung Q existiert, falls E polnisch und ϵ die Borel-σ-Algebra auf E ist. Ist insbesondere X reellwertig, also E = ℝ, so nennt man für alle yF die Abbildung FX|Y(·|y) : ℝ → [0, 1] \begin{eqnarray}{F}_{X|Y}(x,y):={P}_{X|Y=y}((-\infty,x])\end{eqnarray} bedingte Verteilungsfunktion von X gegeben Y = y

Besitzt Y Werte in {y1,y2, …} mit &Rgr;Y({yi})> 0 für i = 1, 2, …, so ist \begin{eqnarray}{P}_{X|Y=y}(B)=P(\{X\in B\}|\{Y=y\})\end{eqnarray} für alle Bϵ, y ∈ {y1, y2, …}. Sind X und Y reellwertig, und existiert eine Dichte f (x, y) von (X, Y), so ist \begin{eqnarray}{f}_{Y}(y):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{{\mathbb{R}}}}}f(x,y)dx\gt 0\end{eqnarray}

PY-fast sicher. Für alle y ∈ ℝ mit fY(y) > 0 und für alle x ∈ ℝ sei fX|Y(x|y) := f(x, y)/fY(y). Ist B die Borel-σ-Algebra auf ℝ, so gilt für alle B ∈ ℬ \begin{eqnarray}{P}_{X|Y=y}(B)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{B}f(x,y)dx\end{eqnarray}

PY-fast sicher. fX|Y wird bedingte Dichte von X gegeben Y genannt.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos