Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: befreundete Zahlen

zwei natürlice Zahlen a und b mit der Eigenschaft, dass die Teilersumme von a gleich b und die Teilersumme von b gleich a ist.

Befreundete Zahlen spielten schon in der antiken griechischen sowie in der mittelalterlichen arabischen Mathematik eine Rolle; eine mit sich selbst befreundete Zahl ist eine vollkommene Zahl.

Nach Iamblichus’ Bericht soll Pythagoras einmal auf die Frage, was ein Freund sei, geantwortet haben: „Einer, der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284“ (mit Hilfe der Primfaktorenzerlegungen rechnet man leicht nach, daß 220 und 284 befreundete Zahlen sind).

1634 bekräftigte Pater Mersenne, „220 und 284 können die vollkommene Freundschaft zweier Personen bedeuten, da die Summe der echten Teiler von 220 genau 284 ergibt, und umgekehrt, als ob diese beiden Zahlen das gleiche Ding wären.“

Ein weiteres Paar befreundeter Zahlen wurde im 13. Jahrhundert von Ibn al Banna wie folgt angegeben: „Die Zahlen 17296 und 18416 sind befreundet, die eine reich, die andere arm. Allah ist allwissend.“ Dabei bezeichnete er eine abundante Zahl als „reich“ (d. h. „reich“ an Teilern, also mit großer Teilersumme σ(a) > 2a) und eine defiziente Zahl als „arm“ (d. h. „arm“ an Teilern).

Das zweitkleinste Paar verschiedener befreundeter Zahlen ist 1184 und 1210; es wurde erst 1866 von Paganini gefunden.

Zum Auffinden von Paaren befreundeter Zahlen gab der arabische Gelehrte Thabit im 9. Jahrhundert n.Chr. folgende Regel:

Ist n > 1, und sind \begin{eqnarray}u & = & 3\cdot {2}^{n-1}-1,\\ v & = & 3\cdot {2}^{n}-1,\,\mathrm{und}\\ w & = & 9\cdot {2}^{2n-1}-1\end{eqnarray}

Primzahlen, dann sind die Zahlen \begin{eqnarray}a={2}^{n}uv\,und\,b={2}^{n}w\end{eqnarray} befreundet.

Euler verallgemeinerte diese Regel zu einem Verfahren, befreundete Zahlen der Form a = cuv und b = cw mit verschiedenen ungeraden Primzahlen u, v, w und einer natürlichen Zahl c, die nicht von u, v, w geteilt wird, zu finden. Euler entdeckte aber auch einige Paare, die nicht von dieser Gestalt sind.

Eine Verallgemeinerung befreundeter Zahlen sind gesellige Zahlen (eine recht sinnige Bezeichnungsweise, die in etwa der allgemeinen Lebenserfahrung entspricht). Um dies zu erklären, bezeichne \begin{eqnarray}{\sigma }^{\ast }(n):=\sum _{d\in {\rm{{\mathbb{N}}}},d|n,d\ne n}d\end{eqnarray} die Summe der echten Teiler (einschl. der 1) einer natürlichen Zahl n. Weiter seien \({\sigma }_{1}^{\ast }(n):={\sigma }^{\ast }(n)\) und \({\sigma }_{k}^{\ast }(n):={\sigma }_{k-1}^{\ast }(n)\) (für k > 1) die k-fache Iteration der Funktion σ*. Gilt nun \({\sigma }_{k}^{\ast }(n)=n\), und ist k die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft, so nennt man das k-Tupel \begin{eqnarray}{\sigma }_{1}^{\ast }(n),\ldots,{\sigma }_{k}^{\ast }(n)=n\end{eqnarray} einen k-Zyklus geselliger Zahlen. Poulet entdeckte 1918 den 5-Zyklus mit der Zahl 12496 sowie den 28-Zyklus, der die Zahl 14264 enthält.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos