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Lexikon der Mathematik: begleitendes Dreibein

das aus dem Einheitstangentenvektor \({\mathfrak{t}}(t)\), dem Hauptnormalenvektor \({\mathfrak{n}}(t)\)und dem Binormalenvektor \({\mathfrak{b}}(t)\)einer allgemein gekrümmten Kurve α(t) bestehende Tripel von Vektorfunktionen.

Die drei Vektoren \({\mathfrak{t}}(t)\), \({\mathfrak{n}}(t)\), \({\mathfrak{b}}(t)\) bilden in jedem Punkt ein sog. orientierendes Dreibein.

Sie lassen sich, beispielsweise durch das Orthogonalisierungsverfahren von Schmidt, aus den drei ersten Ableitungsvektoren α′(t), α″(t), α‴(t) der Kurve gewinnen.

Ein begleitendes Dreibein einer regulären Fläche ℱ besteht aus drei auf ℱ definierten differenzierbaren Vektorfeldern \({{\mathfrak{e}}}_{1}\), \({{\mathfrak{e}}}_{2}\) und \({{\mathfrak{e}}}_{3}\), von denen \({{\mathfrak{e}}}_{3}\) ein Einheitsnormalenvektorfeld ist. Im Gegensatz zu Flächen ist das begleitende Dreibein einer Kurve bis auf Richtungsumkehr eindeutig bestimmt.

Mit Hilfe des begleitenden Dreibeins von Kurven und Flächen gelangt man in der Differentialgeometrie zu invarianten und verallgemeinerungsfähigen Definitionen und Beweismethoden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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