Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: begleitendes n-Bein

eine Folge \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n}\}\) von n orthonormierten Vektorfeldern auf einer offenen Teilmenge UM einer n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit M.

Ist g die Metrik von M, so soll in jedem Punkt xM die Bedingung \begin{eqnarray}g({{\mathfrak{e}}}_{i}(x),{{\mathfrak{e}}}_{j}(x))={\delta }_{ij}=\{1,\,\,\,{\rm{falls}}i=j\\ 0,\,\,\,{\rm{falls}}i\ne j\end{eqnarray} gelten. Für die Untersuchung Riemannscher Mannigfaltigkeiten haben begleitende n-Beine ähnliche Bedeutung wie die Basis eines Vektorraumes. Sie dienen zur Beschreibung und rechnerischen Darstellung geometrischer Größen durch Koordinaten.

Den Levi-Civita-Zusammenhang ∇ kann man mit Hilfe eines begleitenden n-Beins durch n2 differentielle 1-Formen \({\omega }_{i}^{j}\)ausdrücken, die durch die Gleichung \begin{eqnarray}{\nabla }_{X}{{\mathfrak{e}}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\omega }_{i}^{j}(X){{\mathfrak{e}}}_{j}\end{eqnarray}definiert sind, wobei X ein beliebiges lokal auf M definiertes Vektorfeld ist.

Die Komponenten \({R}_{lij}^{k}\) des Riemannschen Krümmungtensors sind durch \begin{eqnarray}R({{\mathfrak{e}}}_{i},{{\mathfrak{e}}}_{j}){{\mathfrak{e}}}_{l}=\sum _{k=1}^{n}{R}_{lij}^{k}{{\mathfrak{e}}}_{k}\end{eqnarray}gegeben. Betrachtet man zu dem begleitenden n-Bein {e1,…,en} die duale Basis (ω1,n), so kann man die Größen \({R}_{lij}^{k}\) durch die Zusammenhangsformen \({\omega }_{i}^{j}\) mittels \begin{eqnarray}d\,{\omega }_{l}^{i}=-\sum _{p=1}^{n}{\omega }_{p}^{i}\wedge {\omega }_{l}^{p}+\frac{1}{2}\sum _{j,k=1}^{n}{R}_{ljk}^{i}{\omega }^{j}\wedge {\omega }^{k}\end{eqnarray}ausdrücken.

Eine ähnliche Gleichung gilt für den Torsionstensor. Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ∇ ein Zusammenhang und \(({{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n})\) ein beliebiges lokales Basisfeld, so besteht folgende Beziehung zwischen dem Torsionstensor \(T({{\mathfrak{e}}}_{i},{{\mathfrak{e}}}_{j})={\sum }_{k=1}^{n}{T}_{ij}^{k}{{\mathfrak{e}}}_{k}\) und den Zusammenhangsformen: \begin{eqnarray}d{\omega }_{l}^{i}=-\sum _{p=1}^{n}{\omega }_{p}^{i}\wedge {\omega }^{p}+\frac{1}{2}\sum _{j,k=1}^{n}{T}_{jk}^{i}{\omega }^{j}\wedge {\omega }^{k}.\end{eqnarray}

Die Gleichungen (1) und (2) heißen die Cartanschen Strukturgleichungen des Zusammenhangs.

Die begleitenden n-Beine haben viele Anwendungen in der Theorie der Untermannigfaltigkeiten. Ist NM eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit (k < n), so wählt man ein angepaßtes begleitendes n-Bein \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n}\}\) so, daß die ersten k Vektoren \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{k}\}\) zum Tangentialraum von N gehören. Die Cartanschen Strukturgleichungen ermöglichen die Untersuchung von differentiellen Invarianten von N.

Ist speziell α(t) eine allgemein gekrümmte Kurve in M, d. h., sind die ersten n Ableitungen \({{\mathfrak{a}}}_{1}=\alpha ^{\prime} (t)\), \({{\mathfrak{a}}}_{2}={\nabla }_{{\mathfrak{a}}1}{\mathfrak{a}}1\), … \({{\mathfrak{a}}}_{n}={\nabla }_{{\mathfrak{a}}1}{{\mathfrak{a}}}_{n-1}\) linear unabhängig, so definiert man ein angepaßtes begleitendes n-Bein \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n}\}\) der Kurve durch sukzessives Orthonormieren der Vektoren \(({{\mathfrak{a}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{a}}}_{n})\).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos