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Lexikon der Mathematik: Begradigung von Vektorfeldern

Inhalt des folgenden Satzes:

Sei \(G\in {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n}\)offen, \(f\in {C}^{1}(G,{{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n})\)ein stetig differenzierbares Vektorfeld und sei y0G ein Punkt mitf (y0) ≠ 0.

Dann existiert eine Umgebung V von y0und ein Diffeomorphismus \begin{eqnarray}\phi :V\to W\subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n}\end{eqnarray}derart, daß \begin{eqnarray}f(\phi )(y))={e}_{1}=konst.\,\mathrm{fur\; alle}\,y\in V.\end{eqnarray}

Kurz gesagt, in einer hinreichend kleinen Umgebung von y0 ist das Vektorfeld diffeomorph zu einem konstanten Feld e1 (e1= (1, 0,…, 0) bezeichne den ersten Koordinateneinheitsvekor).

Betrachtet man die gewöhnliche Differentialgleichung y′ = f(y), so ist diese aufgrund des obigen Satzes in einer hinreichend kleinen Umgebung von y0 äquivalent zu der einfachen Gleichung u′ = e1, also zu dem Differentialgleichungssystem \begin{eqnarray}({u}_{1}^{^{\prime} }\\ {u}_{2}^{^{\prime} }\\ \vdots \\ {u}_{n}^{^{\prime} })=(1\\ 0\\ \vdots \\ 0).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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