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Lexikon der Mathematik: Bell-Zahl

die Anzahl der möglichen Partitionen einer endlichen Menge.

Ist P(n) der Partitionsverband einer n-elementigen Menge, kurz n-Menge genannt, so ist Bn := |P(n)| (Kardinalität von P(n)) die n-te Bell-Zahl. Es wird dabei vereinbart, daß B0 = 1 ist.

Als Beispiel betrachte man die 3-Menge {a, b, c}; hier gibt es fünf Partitionen: {{a}, {b}, {c}}, {{a, b}, {c}}, {{a, c}, {b}}, {{a}, {b, c}} und {{a, b, c}}, d.h. B3 = 5.

Die erste zehn Bell-Zahlen sind: B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203, B7 = 877, B8 = 4140, B9 = 21147 und B10 = 115975.

Für n < 1000 gibt es nur sechs Bell-Zahlen, die Primzahlen sind: B2, B3, B7, B13, B42 und B55.

Die Bell-Zahlen können mit der erzeugenden Funktion \begin{eqnarray}{{\rm{e}}}^{{{\rm{e}}}^{x}-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{B}_{n}}{n!}{x}_{n}\end{eqnarray} definiert werden und erfüllen die Rekursion \begin{eqnarray}{B}_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}(n\\ k){B}_{k},\,n\in {{\rm{{\mathbb{N}}}}}_{0}.\end{eqnarray}

Die Formel \begin{eqnarray}{B}_{n}=\sum _{k=1}^{n}{S}_{n,k},n\in {\rm{{\mathbb{N}}}}\end{eqnarray}definiert die Bell-Zahlen als Summe von Stirling-Zahlen zweiter Art Sn, k.

Andere Formeln, die die Bell-Zahlen definieren, sind folgende: \begin{eqnarray}{B}_{n}=\lceil \frac{1}{e}\sum _{k=0}^{2n}\frac{{k}^{n}}{k!}\rceil \end{eqnarray}

(wobei [x] die kleinste ganze Zahl bezeichnet, die größer als x ist), \begin{eqnarray}{B}_{n}=\frac{1}{e}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{k}^{n}}{k!}\end{eqnarray}und \begin{eqnarray}{B}_{n}=\sum _{k=1}^{n}\frac{{k}^{n}}{k!}\sum _{j=0}^{n-k}\frac{{(-1)}^{j}}{j!}.\end{eqnarray}

Eine interessante Eigenschaft der Bell-Zahlen ist die Determinanten-Identität \begin{eqnarray}|{B}_{0} & {B}_{1} & {B}_{2} & \cdots & {B}_{n}\\ {B}_{1} & {B}_{2} & {B}_{3} & \cdots & {B}_{n+1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {B}_{n} & {B}_{n+1} & {B}_{n+2} & \cdots & {B}_{2n}|=\prod _{i=1}^{n}i!.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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