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Lexikon der Mathematik: Bereichsschätzung

auch Konfidenzschätzung genannt, Begriff aus der Mathematischen Statistik.

Es sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion Fγ, wobei γ ∈ ℝk ein unbekannter zu schätzender Parametervektor ist, und sei X1, …, Xn eine mathematische Stichprobe von X vom Umfang n.

Unter einer Bereichsschätzung für den Parametervektor γ versteht man einen auf der Basis der Stichprobe berechneten Bereich B(Xl, …, Xn), dessen bei einer konkreten Stichprobe gewonnene Realisierung B(x1, …, xn) eine Teilmenge des ℝk ist, und in welchem γ mindestens mit der Wahrscheinlichkeit α enthalten ist.

α heißt Überdeckungswahrscheinlichkeit (bzw. Sicherheitswahrscheinlichkeit bzw. Konfidenzniveau) des Bereiches B.

Ziel ist es, möglichst kleine Bereiche mit hoher Überdeckungswahrscheinlichkeit zu konstruieren.

Im Falle γ ∈ ℝ, also k = 1, wird als Konfidenzbereich in der Regel ein Intervall \begin{eqnarray}B({X}_{1},\ldots,{X}_{n})=[{I}_{u}({X}_{1},\ldots,{X}_{n}),{I}_{0}({X}_{1},\ldots,{X}_{n})]\end{eqnarray}gewählt. Dieses Intervall wird auch als Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall bezeichnet. Die Grenzen des Intervalls heißen Konfidenzgrenzen bzw. Vertrauensgrenzen.

Für α wählt man in der Regel Werte wie 0.95, 0.99 oder sogar 0.999. Wird z. B. α = 0.95 gewählt, so kann man erwarten, daß bei etwa 95 Prozent aller Stichproben (die man wirklich, oder nur in Gedanken entnehmen will), die zugehörigen Konfidenzintervalle den wahren Wert für γ enthalten.

Bei α = 0.99 ist dies sogar in 99 Prozent der Fälle richtig, aber das zugehörige Konfidenzintervall ist dann im allgemeinen etwas breiter.

Durch die Erhöhung des Stichprobenumfangs n kann man bei gegebener Überdeckungswahrscheinlichkeit α die Breite des Intervalls verringern bzw. bei vorgegebener fester Breite die Überdeckungswahrscheinlichkeit erhöhen.

Typische Vertreter sind das Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Normalverteilung, das Konfidenzintervall für die Varianz der Normalverteilung und die Konfidenzschätzung für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit.

Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Konfidenzschätzungen und Hypothesentests. Ist I(X1, …, Xn) ein Konfidenzintervall für γR1 zum Niveau α, so erhält man z. B. einen Signifikanztest zum Prüfen der Hypothese \begin{eqnarray}H:\gamma ={\gamma }^{\ast }\end{eqnarray}durch folgende Vorschrift: Die Hypothese H ist abzulehnen, falls das konkrete Intervall I(x1, …, xn) den Wert γ* nicht enthält. Der Fehler erster Art dieses Tests ist dann gleich 1 − α.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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