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Lexikon der Mathematik: Bergman-Raum

wichtiges Beispiel eines Hilbertschen Funktionenraumes.

Es sei G ⊂ ℂ ein beliebiges Gebiet, L2 (G) der Raum der bezüglich des Lebesgue-Maßes \begin{eqnarray}dV(z)=dxdy\end{eqnarray} quadratintegrierbaren meßbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt \begin{eqnarray}(f,g)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}f(z)\overline{g(z)}dV(z),\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}^{2}(G)={L}^{2}(G)\cap {\mathscr{O}}(G)\end{eqnarray}der Unterraum der quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen. Für zG bezeichne δ (z) den Randabstand von z, also 0 < δ (z) ≤ ∞. Ist R < δ (z), so liegt der abgeschlossene Kreis \begin{eqnarray}\overline{{D}_{{\rm{R}}}(z)}\end{eqnarray}noch in G, und nach der Flächenmittelwerteigenschaft holomorpher Funktionen ist \begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{\pi {R}^{2}}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\rm{D}}}_{R}(z)}f(\zeta )dV(\zeta ).\end{eqnarray}

Dabei ist f eine beliebige auf G holomorphe Funktion.

Unter Verwendung der Schwarzschen Ungleichung folgt \begin{eqnarray}|f(z)|\le \frac{1}{\sqrt{\pi }R}{[\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}{|f(\zeta )|}^{2}dV(\zeta )]}^{\frac{1}{2}},\end{eqnarray} woraus sich die Bergmansche Ungleichung ergibt:

Für jede quadratintegrierbare holomorphe Funktion f und jedes zG ist \begin{eqnarray}|f(z)|\le \frac{1}{\sqrt{\pi }\delta (z)}\Vert f\Vert .\end{eqnarray}

Für G = ℂ besagt die Ungleichung, daß f ≡ 0 ist, daß es also keine ganzen quadratintegrierbaren Funktionen außer der Nullfunktion gibt. Weitere unmittelbare Folgerungen aus dieser fundamentalen Ungleichung sind im nächsten Satz zusammengefaßt:

  • Konvergenz im Quadratmittel für holomorphe Funktionen hat die lokal gleichmäßige Konvergenz zur Folge.
  • Jede normbeschränkte Teilmenge holomorpher Funktionen ist normal.
  • 𝒪2 (G) ist in L2 (G) ein abgeschlossener Unterraum, also ein Hilbertraum.
  • Zu jeder kompakten Teilmenge MG gibt es eine Konstante cM > 0, so daß \begin{eqnarray}|f(z)|\le {c}_{M}\Vert f\Vert \end{eqnarray} für alle f ∈ 𝒪2 (G) und alle zM ist.
  • Aussage iv) des Satzes besagt genau, daß 𝒪2 (G) der Bergman-Bedingung (Hilbertscher Funktionenraum) genügt. Daher besitzt 𝒪2 (G) einen reproduzierenden Kern K (z, w) (Hilbertscher Funktionenraum). Die Kernfunktion K zu 𝒪2 (G) heißt Bergmansche Kernfunktion (Bergman-Kern) des Gebietes G, der Raum 𝒪2 (G) (kurz 𝒪2) der Bergman-Raum.

    Für beschränkte Gebiete ist 𝒪2 immer ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum, da z. B. alle Polynome zu 𝒪2 gehören, und K ist dann eine von Null verschiedene Funktion. Ist andererseits G = ℂ, so ist nach der Bergmanschen Ungleichung der Raum 𝒪2 einfach der Nullraum, die Theorie ist in diesem Fall inhaltsleer.

    Die Bergmansche Kernfunktion K besitzt die folgenden Eigenschaften:

  • Die orthogonale (Bergman-)Projektion \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}:{L}^{2}(G)\to {{\mathscr{O}}}^{2}(G)\end{eqnarray}wird durch \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}f(z):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}f(\zeta )\overline{K(z,\zeta )}dV(\zeta )\end{eqnarray} gegeben; insbesondere gilt für f ∈ 𝒪2\begin{eqnarray}f(z):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}f(\zeta )\overline{K(z,\zeta )}dV(\zeta ).\end{eqnarray}
  • K (z, ζ) ist holomorph in ζ, antiholomorph in z und reell analytisch in beiden Variablen. \begin{eqnarray}{\rm{iii}})K(z,\zeta )=\overline{K(\zeta,z)}.\end{eqnarray}
  • Für jede Orthonormalbasis {hj} von 𝒪2 gilt: \begin{eqnarray}k(z,\zeta )=\sum _{j}\overline{{h}_{j}(z)}{h}_{j}(\zeta ),\end{eqnarray}wobei die Reihe für festes z in der L2-Norm konvergiert und auf G ×G lokal gleichmäßig konvergent ist.
  • Für jedes beschränkte Gebiet G ist K (z, z) > 0 für alle zG.
  • Ist (fn) eine Folge in 𝒪2(G), die in 𝒪2(G) gegen f ∈ 𝒪2(G) konvergiert, d.h.\(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\Vert {f}_{n}-f\Vert }_{2}=0\), so ist (fn) in G kompakt konvergent gegen f.

    Studiert man das Verhalten des Bergman-Raumes und der zugehörigen Projektion unter konformen Abbildungen zwischen zwei Gebieten G und G′, dann erhält man eine wichtige Transformationsformel für die Kernfunktionen der beiden Gebiete, die sich für beschränkte Gebiete ebenfalls mit Hilfe der Bergman-Metrik formulieren läßt:

    Es sei f : GG*, zz*, eine konforme Abbildung, K und K* seien die Kernfunktionen der beiden Gebiete. Dann gilt \begin{eqnarray}K(z,\zeta )=\overline{F^{\prime} (z)}{K}^{\ast }(F(z),F(\zeta ))F^{\prime} (\zeta ).\end{eqnarray}

    Ist nun G ein beschränktes Gebiet mit Kernfunktion K (z, ζ), dann ist durch \begin{eqnarray}d{s}_{G}:=\sqrt{K(z,z)}|dz|\end{eqnarray} eine Hermitesche Metrik, die sogenannte Bergman-Metrik des beschränkten Gebietes G, definiert.

    Schließlich gilt folgendes Korollar.

    Aus der Transformationsformel (1) folgt die konforme Invarianz der Bergman-Metrik: \begin{eqnarray}d{s}_{G}\circ F & = & \sqrt{k(F({z}^{\ast })F({z}^{\ast }))}|F^{\prime} ({z}^{\ast })||d{z}^{\ast }|\\ & = & \sqrt{{K}^{\ast }({z}^{\ast },{z}^{\ast })}|d{z}^{\ast }|=d{s}_{{G}^{\ast }}.\end{eqnarray}

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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