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Lexikon der Mathematik: Bernoulli-Differentialgleichung

gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung der Form \begin{eqnarray}{y}^{^{\prime} }+g(x)y+k(x){y}^{\alpha }=0\end{eqnarray} mit α = 0. Diese DGL läßt sich analytisch lösen, indem man sie mittels Multiplikation mit (1 −α)yα und unter Verwendung von \begin{eqnarray}{({y}^{1-\alpha })^{\prime} }^{}(x)=(1-\alpha ){y}^{-\alpha }(x)y^{\prime} (x)\end{eqnarray}in die Gleichung \begin{eqnarray}{({y}^{1-\alpha })^{\prime} }^{}(x)+(1-\alpha )g(x){y}^{1-\alpha }(x)+(1-\alpha )k(x)=0\end{eqnarray}

überführt. Mit z(x) := y1 −α (x) ist dies eine inhomogene lineare Differentialgleichung, deren Lösung sich mittels Variation der Konstanten zu \begin{eqnarray}z(x)={e}^{-G(x)}(C+H(x))\end{eqnarray}ergibt, wobei G bzw. H die Stammfunktionen zu g bzw. h bezeichnen, und C eine Integrationskonstante ist.

Als Lösung von (1) erhält man schließlich \begin{eqnarray}y(x)={z}^{\frac{1}{1-\alpha }}(x).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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