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Lexikon der Mathematik: Bernoulli-Operator

der translationsinvariante Operator Br, r ∈ ℝ, auf dem Vektorraum ℝ[x] der Polynome, definiert durch \begin{eqnarray}p(x)\to \displaystyle \underset{x}{\overset{x+r}{\int }}p(t)dt.\end{eqnarray}

Der Bernoulli-Operator B1 wird auch mit J bezeichnet. Für die Standardbasis {xn, n ∈ ℕ0 } ergibt sich dann, daß \begin{eqnarray}{J({x}^{n})|}_{x=0}=\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{n}dt=\frac{1}{n+1}\end{eqnarray}und \begin{eqnarray}J=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{{\rm{D}}}^{k}}{(k+1)!}=\frac{{e}^{{\rm{D}}}-I}{{\rm{D}}}=\frac{{\rm{\Delta }}}{{\rm{D}}},\end{eqnarray}wobei I der Identitätsoperator, D der Standardoperator und Δ der Vorwärts-Differenzenoperator ist.

Bezeichnet man die Translation um r ∈ ℝ mit Er, so ist \begin{eqnarray}{B}_{r}=\frac{{E}^{r}-I}{{\rm{\Delta }}}J.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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