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Lexikon der Mathematik: Bernoulli-Polynome

die über die erzeugende Funktion \begin{eqnarray}\frac{t{e}^{xt}}{{e}^{t}-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{B}_{n}(x)\frac{{t}^{n}}{n!}\end{eqnarray}definierten Polynome Bn. Die Zahlen Bn := Bn(0) nennt man auch Bernoullische Zahlen.

Bernoulli-Polynome erfüllen die folgenden Relationen \begin{eqnarray}{B}_{n}^{^{\prime} }(x) & = & n{B}_{n-1}(x)\,(n\ge 1),\\ {B}_{n}(x+1)-{B}_{n}(x) & = & n{x}^{n-1}\,(n\ge 0),\end{eqnarray}die insbesondere zur Interpolation und zur Lösung von Differenzengleichungen nützlich sind. So ist etwa eine polynomiale Lösung von \begin{eqnarray}f(x+1)-f(x)=\sum _{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}\end{eqnarray}durch \begin{eqnarray}f(x)=\sum _{n=0}^{N}{a}_{n}\frac{{B}_{n+1}(x)}{n+1}+C\,{\rm{mit}}\,C\,{\rm{beliebig}}\end{eqnarray}gegeben. Summen von Potenzen lassen sich auch leicht durch Bernoulli-Polynome ausdrücken, es gilt hier \begin{eqnarray}\sum _{k=1}^{m}{k}^{n}=\frac{{B}_{n+1}(m+1)-{B}_{n+1}(0)}{n+1}.\end{eqnarray}

Weitere nützliche Formeln sind etwa: \begin{eqnarray}{B}_{n}(x+h) & = & \displaystyle \sum _{k=0}^{n}(n\\ k){B}_{k}(x){h}^{n-k}\\ {B}_{n}(1-x) & = & {(-1)}^{n}{B}_{n}(x)\\ {(-1)}^{n}{B}_{n}(-x) & = & {B}_{n}(x)+n{x}^{n-1}\\ {B}_{n}(mx) & = & {m}^{n-1}\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{B}_{n}(x+k/m).\end{eqnarray}

Einige Integralbeziehungen: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_{n}(t)dt & = & \displaystyle \frac{{B}_{n+1}(x)-{B}_{n+1}(a)}{n+1},\\ \displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{n}(t){B}_{m}(t)dt & = & {(-1)}^{n-1}\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{m+n}(0).\end{eqnarray}

Spezielle Funktionswerte: \begin{eqnarray}{B}_{2n+1} & = & 0\,(n\ge 1),\\ {B}_{n}(0) & = & {(-1)}^{n}{B}_{n}(1)={B}_{n},\\ {B}_{n}(\displaystyle \frac{1}{2}) & = & -(1-{2}^{1-n}){B}_{n},\\ {B}_{n}(\displaystyle \frac{1}{3}) & = & {B}_{2n}(\displaystyle \frac{2}{3}),\\ & = & -{2}^{-1}(1-{3}^{1-2n}){B}_{2n.}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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