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Lexikon der Mathematik: Bernoulli-Schema

endliche Anzahl n von voneinander unabhängigen Durchführungen eines Zufallsexperimentes, wobei bei jeder Wiederholung nur beobachtet wird, ob ein bestimmtes zufälliges Ereignis A, das mit der Wahrscheinlichkeit p stattfindet, eintritt oder nicht. Das Eintreten von A wird auch als Erfolg bezeichnet.

Ein typisches Beispiel eines Bernoulli-Schemas ist der n-fache Wurf einer Münze, wobei das Ereignis A genau dann eintritt, wenn die Münze „Zahl“ zeigt.

Ein Verlauf eines Bernoulli-Schemas kann beschrieben werden durch ein Tupel (a1, …, an), wobei ai := 1, falls das Ereignis A bei der i-ten Durchführung des Experimentes eingetreten ist, und ai := 0 andernfalls (i = 1, …, n). Wegen der Unabhängigkeit der Wiederholungen des Experimentes ist die Wahrscheinlichkeit für einen Verlauf (a1, …, an) gleich \begin{eqnarray}{p}^{\sum {a}_{i}}{(1-p)}^{n-\sum {a}_{i}}.\end{eqnarray}

Daher ist der durch \begin{eqnarray}{\rm{\Omega }}:=\{({a}_{1},\ldots,{a}_{n})|{a}_{i}\in \{0,1\},i=1,\ldots,n\},\end{eqnarray}

𝒜 := {B|B ⊂ Ω} und \begin{eqnarray}p(\{({a}_{1},\ldots,{a}_{n})\}):={p}^{\sum {a}_{i}}{(1-p)}^{n-\sum {a}_{i}}\end{eqnarray}für alle (a1, …, an) ∈ Ω gegebene Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝒜, P) ein mathematisches Modell eines Bernoulli-Schemas.

Damit wird für i = 1, …, n das Ergebnis der i-ten Durchführung des Experimentes durch die Bernoulli-Variable \begin{eqnarray}{X}_{i}:{\rm{\Omega }}\to \{0,1\},{X}_{i}(({a}_{1},\ldots,{a}_{n})):={a}_{i}\end{eqnarray}beschrieben: Es ist Xi = 1 bzw. Xi = 0 genau dann, wenn das Ereignis A bei der i-ten Wiederholung eintritt bzw. nicht eintritt. In Übereinstimmung mit ihrer inhaltlichen Interpretation sind X1, …, Xn sowohl unabhängige Zufallsvariablen als auch identisch verteilte Zufallsvariablen mit \begin{eqnarray}P(\{{X}_{i}=1\})=p=1-P(\{{X}_{i}=0\})\end{eqnarray}für i = 1, …, n. Häufig interessiert man sich für die Anzahl \begin{eqnarray}{S}_{n}:=\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}\end{eqnarray}der Erfolge des Bernoulli-Schemas. Dieses ist binomialverteilt mit den Parametern n und p (Bino-mialverteilung).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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