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Lexikon der Mathematik: Bernoullische Zahlen

im wesentlichen die Koeffizienten der Taylorreihe der Funktion f(z) = z/(ez − 1).

Genauer gilt für |z| < 2π \begin{eqnarray}\frac{z}{{e}^{z}-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{B}_{n}}{n!}{z}^{n},\end{eqnarray}wobei Bn die n-te Bernoullische Zahl ist.

Man erhält leicht B0= 1, \({B}_{1}=-\frac{1}{2}\) und B2n+1 = 0 für n ∈ ℕ. Weiter gilt für n ≥ 2 die Formel \begin{eqnarray}(n\\ 0){B}_{0}+(n\\ 1){B}_{1}+(n\\ 2){B}_{2}+\cdots +(n\\ n-1){B}_{n-1}=0.\end{eqnarray}

Hieraus folgt, daß alle Bernoullischen Zahlen rational sind, und sich rekursiv berechnen lassen. Zum Beispiel gilt \begin{eqnarray}{B}_{2}=\frac{1}{6},\,{B}_{4}=-\frac{1}{30},\,{B}_{6}=\frac{1}{42},\,{B}_{8}=-\frac{1}{30},{B}_{10}=\frac{5}{66},\,{B}_{12}=-\frac{691}{2730},\,{B}_{14}=\frac{7}{6}.\end{eqnarray}

Die Folge (B2n) ist unbeschränkt. Die Numerierung der Bernoullischen Zahlen ist in der Literatur nicht einheitlich. So werden häufig die verschwindenden Zahlen B2n+1 überhaupt nicht bezeichnet, und statt B2n wird (−1)n−1Bn gesetzt.

Die Bernoullischen Zahlen spielen noch bei anderen Taylorreihen eine Rolle, nämlich \begin{eqnarray}z\,\cot \,z & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\displaystyle \frac{{4}^{n}{B}_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n},\,|z|\lt \pi,\\ \tan \,z & = & \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\displaystyle \frac{{4}^{n}({4}^{n}-1){B}_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n-1},\,|z|\lt \displaystyle \frac{\pi }{2},\\ \displaystyle \frac{z}{\sin \,z} & = & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\displaystyle \frac{({4}^{n}-2){B}_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n},\,|z|\lt \pi .\end{eqnarray}

Schließlich können die Bernoullischen Zahlen auch als Absolutglieder der Bernoulli-Polynome definiert und so viele ihrer Eigenschaften auch auf anderem Wege hergeleitet werden.

Sie spielen u. a. eine wichtige Rolle bei der Euler-Maclaurinschen Summenformel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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