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Lexikon der Mathematik: Bernstein-Bézier-Darstellung

Darstellung eines Polynoms als Linearkombination von BernsteinPolynomen.

Ist g(x) ein Polynom vom Grad m, so ist seine Bernstein-Bézier-Darstellung die Linearkombination \begin{eqnarray}g(x)=\sum {c}_{i}{B}_{i}^{m}(x)\end{eqnarray}von Bernstein-Polynomen vom Grad m.

Ist G(x1, …, xn) die multi-affine Polarform von g, so kann man die Koeffizienten ci aus \begin{eqnarray}{c}_{i}=B\mathop{\underbrace{(0,\ldots,0,}}\limits_{i\times }\mathop{\underbrace{1,\ldots,1)}}\limits_{(n-i)\times }\end{eqnarray} rekonstruieren.

Ist \(g:{\rm{{\mathbb{R}}}}\to {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{m}\) eine polynomiale Kurve, so ist ihre Bernstein-Bézier-Darstellung komponentenweise definiert und liefert eine Darstellung der Kurve g als Bézier-Kurve. Die Koeffizientenvektoren sind dann ihre Kontrollpunkte.

Die geometrische Bedeutung der Bernstein-Bézier-Darstellung liegt unter anderem darin, daß man – im Gegensatz zur Linearkombination einer Polynomfunktion in der Monombasis – die k-Schmiegebene Sk(t) an zwei Stellen (t = 0 und t = 1) als affine Hülle von Koeffizientenvektoren ablesen kann: Es ist \begin{eqnarray}{S}_{k}(0)={\rm{a}}{\rm{.H}}.({b}_{0},\ldots,{b}_{m}),\\ {S}_{k}(1)={\rm{a}}.{\rm{H}}.({b}_{m-k},\ldots,{b}_{m}).\end{eqnarray}

Auch für rationale Kurven und Flächen gibt es eine Bernstein-Bézier-Darstellung, man spricht dann von rationalen Bézier-Kurven und -Flächen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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