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Lexikon der Mathematik: Bernstein-Polynom

meist in der Theorie der gleichmäßigen Approximation sowie zunehmend auch innerhalb der Computergraphik verwendeter Polynomtyp.

Für n ∈ ℕ und j ∈ {0, …, n} ist das j-te Bernstein-Polynom n-ten Grades \({B}_{j}^{n}\)definiert als \begin{eqnarray}{B}_{j}^{n}(x)=(n\\ j){x}^{j}{(1-x)}^{n-j}.\end{eqnarray}

Für x ∈ [0, 1] ist \({B}_{j}^{n}\) nichtnegativ und nimmt sein einziges Maximum an der Stelle j/n an.

Die Polynome \(\{{B}_{0}^{n},\ldots,{B}_{n}^{n}\}\) sind linear unabhängig und bilden somit eine Basis des Raums aller Polynome n-ten Grades, die sogenannte Bernstein-Basis.

Sie bilden eine Partition des Eins, d. h., für alle x gilt \begin{eqnarray}\sum _{j=0}^{n}{B}_{j}^{n}(x)=1.\end{eqnarray}

Bernstein-Polynome bilden das Hauptinstrument beim Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes, sowie bei der Konstruktion von Beziér-Kurven und Beziér-Flächen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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